ГлавнаяМатематикаКак решать​Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки

​Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки

2016-02-06 17:27:14

Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на M и на N даёт равные ненулевые остатки и первая справа (первая слева, средняя) цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи

c = (a + b) / 2

Кроме этого число abc при делении на 4 и 15 дает равные ненулевые остатки. Это значит, что остаток находится в диапазоне от 1 до 3 (так как наименьший делитель равен 4 и остаток не равен 0). Поскольку при делении на 4 и 15 остатки одинаковы, значит при делении числа abc на произведение чисел

4 ⋅ 15 = 60

остаток получится такой же: 1, 2 или 3.

Попробуем подобрать трехзначные натуральные числа, которые будут соответствовать этому условию. Для этого будем умножать 60 на 1, 2, 3 и т.д. и прибавлять к этим числам возможные остатки. А после этого проверять, является ли крайняя правая цифра средним арифметическим двух остальных.

Умножаем 60 на 1:

60 ⋅ 1 = 60 – двухзначное число, не подойдет

Умножаем 60 на 2:

60 ⋅ 2 = 120

121: (1 + 2) / 2 ≠ 1

122: (1 + 2) / 2 ≠ 2

123: (1 + 2) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 3:

60 ⋅ 3 = 180

181: (1 + 8) / 2 ≠ 1

182: (1 + 8) / 2 ≠ 2

183: (1 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 4:

60 ⋅ 4 = 240

241: (2 + 4) / 2 ≠ 1

242: (2 + 4) / 2 ≠ 2

243: (2 + 4) / 2 = 3

Одно число подобрали: оно равно 243. На этом шаге можно было закончить решение, однако мы проверим какие еще числа подойдут в качестве ответа.

Умножаем 60 на 5:

60 ⋅ 5 = 300

301: (3 + 0) / 2 ≠ 1

302: (3 + 0) / 2 ≠ 2

303: (3 + 0) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 6:

60 ⋅ 6 = 360

361: (3 + 6) / 2 ≠ 1

362: (3 + 6) / 2 ≠ 2

363: (3 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 7:

60 ⋅ 7 = 420

421: (4 + 2) / 2 ≠ 1

422: (4 + 2) / 2 ≠ 2

423: (4 + 2) / 2 = 3

Еще одно число, подходящее по условию задачи: 423.

Умножаем 60 на 8:

60 ⋅ 8 = 480

481: (4 + 8) / 2 ≠ 1

482: (4 + 8) / 2 ≠ 2

483: (4 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 9:

60 ⋅ 9 = 540

541: (5 + 4) / 2 ≠ 1

542: (5 + 4) / 2 ≠ 2

543: (5 + 4) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 10:

60 ⋅ 10 = 600

601: (6 + 0) / 2 ≠ 1

602: (6 + 0) / 2 ≠ 2

603: (6 + 0) / 2 = 3

Число 603 также подойдет в качестве ответа.

Умножаем 60 на 11:

60 ⋅ 11 = 660

661: (6 + 6) / 2 ≠ 1

662: (6 + 6) / 2 ≠ 2

663: (6 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 12:

60 ⋅ 12 = 720

721: (7 + 2) / 2 ≠ 1

722: (7 + 2) / 2 ≠ 2

723: (7 + 2) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 13:

60 ⋅ 13 = 780

781: (7 + 8) / 2 ≠ 1

782: (7 + 8) / 2 ≠ 2

783: (7 + 8) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 14:

60 ⋅ 14 = 840

841: (8 + 4) / 2 ≠ 1

842: (8 + 4) / 2 ≠ 2

843: (8 + 4) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 15:

60 ⋅ 15 = 900

901: (9 + 0) / 2 ≠ 1

902: (9 + 0) / 2 ≠ 2

903: (9 + 0) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 16:

60 ⋅ 16 = 960

961: (9 + 6) / 2 ≠ 1

962: (9 + 6) / 2 ≠ 2

963: (9 + 6) / 2 ≠ 3

Умножаем 60 на 17:

60 ⋅ 17 = 1020 – четырехзначное число, не подойдет.

Таким образом, перебрав все возможные варианты, мы получили 3 числа: 243, 423 и 603.

Ответ: 243 или 423 или 603

До экзаменов еще есть время!

Наверх