Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки
Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на M и на N даёт равные ненулевые остатки и первая справа (первая слева, средняя) цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Пример задачи:
Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Решение:
Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи
c = (a + b) / 2
Кроме этого число abc при делении на 4 и 15 дает равные ненулевые остатки. Это значит, что остаток находится в диапазоне от 1 до 3 (так как наименьший делитель равен 4 и остаток не равен 0). Поскольку при делении на 4 и 15 остатки одинаковы, значит при делении числа abc на произведение чисел
4 ⋅ 15 = 60
остаток получится такой же: 1, 2 или 3.
Попробуем подобрать трехзначные натуральные числа, которые будут соответствовать этому условию. Для этого будем умножать 60 на 1, 2, 3 и т.д. и прибавлять к этим числам возможные остатки. А после этого проверять, является ли крайняя правая цифра средним арифметическим двух остальных.
Умножаем 60 на 1:
60 ⋅ 1 = 60 – двухзначное число, не подойдет
Умножаем 60 на 2:
60 ⋅ 2 = 120
121: (1 + 2) / 2 ≠ 1
122: (1 + 2) / 2 ≠ 2
123: (1 + 2) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 3:
60 ⋅ 3 = 180
181: (1 + 8) / 2 ≠ 1
182: (1 + 8) / 2 ≠ 2
183: (1 + 8) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 4:
60 ⋅ 4 = 240
241: (2 + 4) / 2 ≠ 1
242: (2 + 4) / 2 ≠ 2
243: (2 + 4) / 2 = 3
Одно число подобрали: оно равно 243. На этом шаге можно было закончить решение, однако мы проверим какие еще числа подойдут в качестве ответа.
Умножаем 60 на 5:
60 ⋅ 5 = 300
301: (3 + 0) / 2 ≠ 1
302: (3 + 0) / 2 ≠ 2
303: (3 + 0) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 6:
60 ⋅ 6 = 360
361: (3 + 6) / 2 ≠ 1
362: (3 + 6) / 2 ≠ 2
363: (3 + 6) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 7:
60 ⋅ 7 = 420
421: (4 + 2) / 2 ≠ 1
422: (4 + 2) / 2 ≠ 2
423: (4 + 2) / 2 = 3
Еще одно число, подходящее по условию задачи: 423.
Умножаем 60 на 8:
60 ⋅ 8 = 480
481: (4 + 8) / 2 ≠ 1
482: (4 + 8) / 2 ≠ 2
483: (4 + 8) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 9:
60 ⋅ 9 = 540
541: (5 + 4) / 2 ≠ 1
542: (5 + 4) / 2 ≠ 2
543: (5 + 4) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 10:
60 ⋅ 10 = 600
601: (6 + 0) / 2 ≠ 1
602: (6 + 0) / 2 ≠ 2
603: (6 + 0) / 2 = 3
Число 603 также подойдет в качестве ответа.
Умножаем 60 на 11:
60 ⋅ 11 = 660
661: (6 + 6) / 2 ≠ 1
662: (6 + 6) / 2 ≠ 2
663: (6 + 6) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 12:
60 ⋅ 12 = 720
721: (7 + 2) / 2 ≠ 1
722: (7 + 2) / 2 ≠ 2
723: (7 + 2) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 13:
60 ⋅ 13 = 780
781: (7 + 8) / 2 ≠ 1
782: (7 + 8) / 2 ≠ 2
783: (7 + 8) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 14:
60 ⋅ 14 = 840
841: (8 + 4) / 2 ≠ 1
842: (8 + 4) / 2 ≠ 2
843: (8 + 4) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 15:
60 ⋅ 15 = 900
901: (9 + 0) / 2 ≠ 1
902: (9 + 0) / 2 ≠ 2
903: (9 + 0) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 16:
60 ⋅ 16 = 960
961: (9 + 6) / 2 ≠ 1
962: (9 + 6) / 2 ≠ 2
963: (9 + 6) / 2 ≠ 3
Умножаем 60 на 17:
60 ⋅ 17 = 1020 – четырехзначное число, не подойдет.
Таким образом, перебрав все возможные варианты, мы получили 3 числа: 243, 423 и 603.
Ответ: 243 или 423 или 603
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- Найдите трехзначное натуральное число, большее
- Найдите трёхзначное число, все цифры которого различны
- Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр
- Приведите пример шестизначного натурального числа
- Вычеркните в числе три цифры
- Сумма цифр трехзначного числа A делится на N
Есть другой способ решения?