ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите трёхзначное число, все цифры которого различны

Найдите трёхзначное число, все цифры которого различны

2016-02-12 00:24:29

Формулировка задачи: Найдите трёхзначное число, кратное N, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на A, но не делится на B. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи

a2 + b2 + c2

делится на 3, но не делится на 9. Кроме этого нужно помнить, что

a ≠ b ≠ c

А также число abc делится нацело на 25. Чтобы число делилось на 25, нужно чтобы оно заканчивалось на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Поэтому нужно выписать все возможные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны и проверить, чтобы сумма их цифр делилась на 3, но не делилась на 9.

Чтобы проверить, делится ли сумма квадратов цифр на 3 и 9, нужно для каждого числа получить сумму квадратов и проверить сумму ее цифр. Если сумма цифр делится на 3, то и число (сумма квадратов) также делится на 3, если сумма цифр делится на 9, то и число также делится на 9.

По условию задачи достаточно найти любое из чисел. Мы же рассмотрим все возможные варианты:

125: 12 + 22 + 52 = 30

3 + 0 = 3 – делится на 3, но не делится на 9


150: 12 + 52 + 02 = 26

2 + 6 = 8 – не делится на 3 и 9


175: 12 + 72 + 52 = 75

7 + 5 = 12 – делится на 3, но не делится на 9


250: 22 + 52 + 02 = 29

2 + 9 = 11 – не делится на 3 и 9


275: 22 + 72 + 52 = 78

7 + 8 = 15 – делится на 3, но не делится на 9


325: 32 + 22 + 52 = 38

3 + 8 = 11 – не делится на 3 и 9


350: 32 + 52 + 02 = 34

3 + 4 = 7 – не делится на 3 и 9


375: 32 + 72 + 52 = 83

8 + 3 = 11 – не делится на 3 и 9


425: 42 + 22 + 52 = 45

4 + 5 = 9 – делится на 3 и 9


450: 42 + 52 + 02 = 41

4 + 1 = 5 – не делится на 3 и 9


475: 42 + 72 + 52 = 90

9 + 0 = 9 – делится на 3 и 9


625: 62 + 22 + 52 = 65

6 + 5 = 11 – не делится на 3 и 9


650: 62 + 52 + 02 = 61

6 + 1 = 7 – не делится на 3 и 9


675: 62 + 72 + 52 = 110

1 + 1 + 0 = 2 – не делится на 3 и 9


725: 72 + 22 + 52 = 78

7 + 8 = 15 – делится на 3, но не делится на 9


750: 72 + 52 + 02 = 74

7 + 4 = 11 – не делится на 3 и 9


825: 82 + 22 + 52 = 93

9 + 3 = 12 – делится на 3, но не делится на 9


850: 82 + 52 + 02 = 89

8 + 9 = 17 – не делится на 3 и 9


875: 82 + 72 + 52 = 138

1 + 3 + 8 = 12 – делится на 3, но не делится на 9


925: 92 + 22 + 52 = 110

1 + 1 + 0 = 2 – не делится на 3 и 9


950: 92 + 52 + 02 = 106

1 + 0 + 6 = 7 – не делится на 3 и 9


975: 92 + 27 + 52 = 155

1 + 5 + 5 = 11 – не делится на 3 и 9

Таким образом, в качестве ответа подойдет любое из следующих чисел: 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: 125 или 175 или 275 или 725 или 825 или 875

Есть другой способ решения?

Наверх