ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите трехзначное натуральное число, большее

Найдите трехзначное натуральное число, большее

2016-03-05 20:37:14

Формулировка задачи: Найдите трехзначное натуральное число, большее N, которое при делении на A, на B и на C дает в остатке K. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Чтобы правильно решать такие задачи, нужно знать признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите трехзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2, и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи 2 цифры в числе будут одинаковыми.

Кроме этого число abc при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке 2. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5. Так как при делении получается остаток, равный 2, наше число оканчивается на 2 или 7. Однако число не может оканчиваться на 7, потому что тогда оно не будет делиться на 4 и 6 с остатком 2. Следовательно, разряд единиц равен 2.

Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из двух последних цифр, делилось на 4 нацело. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно делилось на 2 (четное) и на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3).

Переберем все возможные трехзначные числа, которые заканчиваются на 2, и в которых ровно 2 одинаковые цифры, и проверим, чтобы они делились на 4 и 6 с остатком 2:

522:

520 делится на 4, т.к. 20 / 4 = 5

520 не делится на 6, т.к. 5 + 2 + 0 = 7, а 7 на 3 нацело не делится


552:

550 не делится на 4, т.к. 50 на 4 нацело не делится


622:

620 делится на 4, т.к. 20 / 4 = 5

620 не делится на 6, т.к. 6 + 2 + 0 = 8, а 8 на 3 нацело не делится


662:

660 делится на 4, т.к. 60 / 4 = 15

660 делится на 6, т.к. 6 + 6 + 0 = 12, 12 / 3 = 4 и число 660 четное

Поэтому число 662 подойдет в качестве ответа.

722:

720 делится на 4, т.к. 20 / 4 = 5

720 делится на 6, т.к. 7 + 2 + 0 = 9, 9 / 3 = 3 и число 720 четное

Поэтому число 722 подойдет в качестве ответа.

772:

770 не делится на 4, т.к. 70 на 4 нацело не делится


822:

820 делится на 4, т.к. 20 / 4 = 5

820 не делится на 6, т.к. 8 + 2 + 0 = 10, а 10 на 3 нацело не делится


882:

880 делится на 4, т.к. 80 / 4 = 20

880 не делится на 6, т.к. 8 + 8 + 0 = 16, а 16 на 3 нацело не делится


922:

920 делится на 4, т.к. 20 / 4 = 5

920 не делится на 6, т.к. 9 + 2 + 0 = 11, а 11 на 3 нацело не делится


992:

990 не делится на 4, т.к. 90 на 4 нацело не делится


Таким образом, в качестве ответа можно указать числа 662 и 722.

Ответ: 662 или 722

Пример задачи 2:

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи

a > b > c

Кроме этого число abc при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке 3. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5. Так как при делении получается остаток, равный 3, наше число оканчивается на 3 или 8. Однако число не может оканчиваться на 8, потому что если из него вычесть 3, то число будет нечетным, а оно должно быть четным, чтобы делиться на 4 и 6. Следовательно, разряд единиц равен 3.

Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из двух последних цифр, делилось на 4 нацело. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно делилось на 2 (четное) и на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3).

Переберем все возможные трехзначные числа, которые заканчиваются на 3, и в которых цифры расположены в порядке убывания, и проверим, чтобы они делились на 4 и 6 с остатком 3:

543:

540 делится на 4, т.к. 40 / 4 = 10

540 делится на 6, т.к. 5 + 4 + 0 = 9, 9 / 3 = 3 и число 540 четное

Поэтому число 543 подойдет в качестве ответа.

643:

640 делится на 4, т.к. 40 / 4 = 10

640 не делится на 6, т.к. 6 + 4 + 0 = 10, а 10 на 3 нацело не делится


653:

650 не делится на 4, т.к. 50 на 4 нацело не делится


743:

740 делится на 4, т.к. 40 / 4 = 10

740 не делится на 6, т.к. 7 + 4 + 0 = 11, а 11 на 3 нацело не делится


753:

750 не делится на 4, т.к. 50 на 4 нацело не делится


763:

760 делится на 4, т.к. 60 / 4 = 15

760 не делится на 6, т.к. 7 + 6 + 0 = 13, а 13 на 3 нацело не делится


843:

840 делится на 4, т.к. 40 / 4 = 10

840 делится на 6, т.к. 8 + 4 + 0 = 12, 12 / 3 = 4 и число 840 четное

Поэтому число 843 подойдет в качестве ответа.

853:

850 не делится на 4, т.к. 50 на 4 нацело не делится


863:

860 делится на 4, т.к. 60 / 4 = 15

860 не делится на 6, т.к. 8 + 6 + 0 = 14, а 14 на 3 нацело не делится


873:

870 не делится на 4, т.к. 70 на 4 нацело не делится


943:

940 делится на 4, т.к. 40 / 4 = 10

940 не делится на 6, т.к. 9 + 4 + 0 = 13, а 13 на 3 нацело не делится


953:

950 не делится на 4, т.к. 50 на 4 нацело не делится


963:

960 делится на 4, т.к. 60 / 4 = 15

960 делится на 6, т.к. 9 + 6 + 0 = 15, 15 / 3 = 5 и число 960 четное

Поэтому число 963 подойдет в качестве ответа.

973:

970 не делится на 4, т.к. 70 на 4 нацело не делится


983:

980 делится на 4, т.к. 80 / 4 = 20

980 не делится на 6, т.к. 9 + 8 + 0 = 17, а 17 на 3 нацело не делится


Таким образом, в качестве ответа можно указать числа 543, 843 и 963.

Ответ: 543 или 843 или 963.

Есть другой способ решения?

Наверх