ГлавнаяМатематикаКак решатьСумма цифр трехзначного числа A делится на N

Сумма цифр трехзначного числа A делится на N

2016-01-26 20:41:18

Формулировка задачи: Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на N. Сумма цифр числа А + K также делится на N. Найдите такое (наименьшее, любое) число А.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А + 6 также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Сумма цифр a + b + c должна делиться нацело на 12. Предположим, что так оно и есть, и попробуем подобрать такое число A + 6, чтобы сумма его цифр также делилась на 12.

Заметим, что сумма цифр числа A + 6 должна отличаться от суммы цифр числа A на 12, 24, ... . Иначе она не будет делиться на 12. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если c < 4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:

A + 6 = ab(c + 6)

Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.

Вариант 2. Если c ≥ 4 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:

A + 6 = a(b + 1)(c - 4)

Разряд единиц получен следующим образом:

c + 6 - 10 = c - 4

То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4.

Сумма цифр этого числа равна

a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3

Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.

Вариант 3. Если c ≥ 4, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:

A + 6 = (a + 1)0(c - 4)

Сумма цифр нового числа равна:

a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3

Сумма цифр числа A при b = 9 равна:

a + 9 + c

Получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.

Вариант 4. Если c ≥ 4, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 6 будет равно:

A + 6 = 100(c - 4)

Сумма цифр этого числа равна:

1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3

Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна:

9 + 9 + c = c + 18

Получается, что 2 этих числа отличаются на 21 (18 - (-3)). Этот вариант не подойдет.

Таким образом, цифры числа abc должны соответствовать c ≥ 4, b = 9, a < 9.

Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24.

Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты:

  • c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра
  • c = 5 и a = 10 - см. выше
  • c = 6 и a = 9, то есть число равно 996
  • c = 7 и a = 8, то есть число равно 897
  • c = 8 и a = 7, то есть число равно 798
  • c = 9 и a = 6, то есть число равно 699

Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно:

6 + 9 + 9 = 24

24 / 12 = 2

699 + 6 = 705

7 + 0 + 5 = 12

12 / 12 = 1

Ответ: 699

До экзаменов еще есть время!

Наверх