ГлавнаяМатематикаКак решатьПриведите пример шестизначного натурального числа

Приведите пример шестизначного натурального числа

2016-02-02 00:27:35

Формулировка задачи: Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами A и B и делится на N. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел, а также уметь раскладывать составной делитель на взаимно простые множители. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи:

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 2 и 0, делилось на 24, нужно чтобы оно делилось на 8 и на 3. Поскольку 8 и 3 – взаимно простые числа.

24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3

Чтобы шестизначное число делилось на 8, нужно чтобы оно заканчивалось на 000 или на трехзначное число, которое делится на 8. Чтобы шестизначное число делилось на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Для составления шестизначного числа есть только 2 цифры: 2 и 0. Сначала попробуем подобрать 3 последние цифры нового числа, чтобы оно делилось на 8:

000, 200 – подходят, поскольку делятся на 8 или равны 000

002, 020, 022, 202, 220, 222 – на 8 не делятся, поэтому не подходят

Получается, что новое число должно оканчиваться на 000 или 200. Осталось подобрать такие остальные цифры числа, чтобы итоговое число делилось на 3.

Для первого варианта:

0 + 0 + 0 = 0

Поэтому оставшиеся цифры могут быть только:

2 + 2 + 2 = 6

(0 + 6) / 3 = 2

Никакое другое сочетание цифр не подойдет. Таким образом, шестизначное число может быть равно 222000.

Для второго варианта:

2 + 0 + 0 = 2

Поэтому оставшиеся цифры могут быть только:

0 + 2 + 2 = 4

(2 + 4) / 3 = 2

Поскольку порядок первых 3 цифр в числе не важен, в качестве ответа подойдут шестизначные числа 220200 и 202200.

Ответ: 222000 или 220200 или 202200

Пример задачи 2:

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 1 и 2, делилось на 72, нужно чтобы оно делилось на 8 и на 9. Поскольку 8 и 9 – взаимно простые числа.

72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 8 ⋅ 9

Чтобы шестизначное число делилось на 8, нужно чтобы оно заканчивалось на 000 или на трехзначное число, которое делится на 8. Чтобы шестизначное число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Для составления шестизначного числа есть только 2 цифры: 1 и 2. Сначала попробуем подобрать 3 последние цифры нового числа, чтобы оно делилось на 8:

112 – подходит, поскольку делится на 8

111, 121, 122, 211, 212, 221, 222 – на 8 не делятся, поэтому не подходят

Получается, что новое число должно оканчиваться на 112. Осталось подобрать такие остальные цифры числа, чтобы итоговое число делилось на 9.

Найдем сумму последних 3 цифр:

1 + 1 + 2 = 4

3 оставшиеся цифры могут увеличить число не более, чем на 6 (2 + 2 + 2). Получается, что сумма цифр шестизначного числа не превысит 10 (4 + 6). Единственная возможная сумма в таком случае равна 9.

Поэтому оставшиеся цифры могут быть только:

1 + 2 + 2 = 5

(4 + 5) / 9 = 1

Поскольку порядок первых 3 цифр в числе не важен, в качестве ответа подойдут шестизначные числа 122112, 212112 и 221112.

Ответ: 122112 или 212112 или 221112

Наверх