ГлавнаяМатематикаКак решатьПриведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр

Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр

2016-02-04 01:24:58

Формулировка задачи: Приведите пример четырёхзначного числа, кратного N, произведение цифр которого больше A, но меньше B. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

40 < a ⋅ b ⋅ c ⋅ d < 45

Попробуем подобрать возможные наборы из 4 цифр, которые будут соответствовать данному соотношению.

Поскольку произведение цифр меньше 45, но больше 40, значит оно может быть равно 41, 42, 43 или 44. 41 и 43 – простые числа, поэтому произведение цифр не может быть равно 41 или 43. Число 44 также не может быть произведением цифр числа, поскольку

44 = 11 ⋅ 2 ⋅ 2

А число 11 не является цифрой (оно не поместится в один разряд).

Осталось рассмотреть число 42. Для начала разложим его на множители таким образом, чтобы их было ровно 4 и все они были цифрами:

42 = 6 ⋅ 7 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 1

В результате разложения было получено два набора цифр. Осталось проверить, соответствуют ли они другому условию задачи: получившееся число должно быть кратно 12. Для этого нужно знать признаки делимости чисел.

Чтобы число делилось на 12, нужно чтобы оно делилось на 3 и 4. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 3. Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4 или они были равны 00.

Проверим, делятся ли подобранные наборы цифр на 3. Для этого найдем сумму цифр из каждого набора:

6 + 7 + 1 + 1 = 15

2 + 3 + 7 + 1 = 13

Получили, что на 3 делится только первый набор цифр, поскольку 15 / 3 = 5, а 13 на 3 не делится. Осталось составить из этих цифр такое число, чтобы оно делилось на 4. Для этого составим возможные числа из любых 2 цифр этого набора и проверим их делимость на 4:

11, 17, 61, 67, 71 – не делятся на 4

16, 76 – делятся на 4

Таким образом, итоговое число должно заканчиваться на 16 или 76. Поэтому в качестве ответа подойдут числа: 1716, 7116 и 1176.

Ответ: 1716, 7116, 1176

До экзаменов еще есть время!

Наверх