ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите четырёхзначное число, произведение цифр которого равно

Найдите четырёхзначное число, произведение цифр которого равно

2017-03-05 16:29:59

Формулировка задачи: Найдите четырёхзначное число, кратное N, произведение цифр которого равно K. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 40

Разложим число 40 на множители таким образом, чтобы их было ровно 4 и все они были цифрами:

40 = 5 ⋅ 8 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

В результате разложения было получено три набора цифр. Осталось проверить, какие из них соответствуют условию кратности. Для этого нужно знать признаки делимости чисел.

Чтобы число делилось на 22, нужно чтобы оно делилось на 2 и 11. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным. Чтобы число делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр, стоящих на нечетных разрядах, была равна сумме цифр в четных разрядах либо суммы должны отличаться на 11.

Для начала проверим, делятся ли подобранные наборы цифр на 11. Поскольку наше число четырехзначное, нужно попробовать разбить каждый набор цифр на 2 группы по 2 цифры, чтобы суммы этих групп были равны:

5 + 1 ≠ 8 + 1, зато (5 + 8) – (1 + 1) = 13 – 2 = 11

5 + 1 = 4 + 2 = 6

5 + 2 ≠ 2 + 2

Получили, что только первый и второй наборы цифр делятся на 11, если правильно расставить цифры в них: 1518, 1815, 5181, 8151, 5412, 4521, 1254, 2145, 1452, 4125, 5214 или 2541. Осталось проверить четность этих чисел. Число четное, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8:

1815, 5181, 8151, 2145, 2541, 4125 и 4521 – нечетные

1518, 5412, 1452, 5214 и 1254 – четные

Поэтому в качестве ответа подойдут числа: 5412, 1452, 5214 или 1254.

Ответ: 1518 или 5412 или 1452 или 5214 или 1254

Пример задачи 2:

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 24

Разложим число 24 на множители таким образом, чтобы их было ровно 4 и все они были цифрами:

24 = 8 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

В результате разложения было получено пять наборов цифр. Осталось проверить, какие из них соответствуют условию кратности. Для этого нужно знать признаки делимости чисел.

Чтобы число делилось на 18, нужно чтобы оно делилось на 2 и 9. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным. Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 9.

Для начала проверим, делятся ли подобранные наборы цифр на 9. Для этого вычислим сумму цифр каждого набора:

8 + 3 + 1 + 1 = 13, 13 / 9 – не целое

6 + 4 + 1 + 1 = 12, 12 / 9 – не целое

6 + 2 + 2 + 1 = 11, 11 / 9 – не целое

4 + 3 + 2 + 1 = 10, 10 / 9 – не целое

3 + 2 + 2 + 2 = 9, 9 / 9 = 1 – целое

Получили, что только последний набор цифр делится на 9. Осталось составить всевозможные числа из полученного набора и проверить четность этих чисел. Число четное, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8:

2223 – нечетное

3222, 2322, 2232 – четные

Поэтому в качестве ответа подойдут числа: 3222, 2322, 2232.

Ответ: 3222 или 2322 или 2232

До экзаменов еще есть время!

Наверх