Биологи открыли разновидность амёб

2017-05-27 23:24:18

Формулировка задачи: Биологи открыли разновидность амёб, каждая из которых ровно через минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через N часов пробирка оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а K амёб?

Задача про амеб входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере, и получим решение в общем виде.

Пример задачи:

Биологи открыли разновидность амёб, каждая из которых ровно через минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через час пробирка оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а четыре амёбы?

Решение 1:

Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:

1 час = 60 минут

Через 60 минут одна амеба произведет полную пробирку амеб. Если амеб будет 4, то за тот же час будет заполнено 4 пробирки. Однако пробирка лишь одна, поэтому каждой амебе нужно заполнить лишь 1/4 от пробирки.

Если 1 амеба заполняет всю пробирку за 60 минут, то 1/2 пробирки (половина) будет заполнена 1 амебой за 59 минут, а 1/4 пробирки (половина от половины) будет заполнена ею за 58 минут. Поскольку все 4 амебы будут делиться одновременно, за 58 минут они полностью заполнят пробирку.

Решение 2:

Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:

1 час = 60 минут

Пусть количество минут, которое будет происходить деление, равно x. Тогда за это время 1 амеба поделится на 2^x амеб, а 4 амебы – на 4 ⋅ 2^x. При этом они полностью заполнят пробирку. Кроме этого известно, что 1 амеба за 60 минут полностью заполнит пробирку, то есть при этом получится 2⁶⁰ амеб. Составляем уравнение и решаем его:

2⁶⁰ = 4 ⋅ 2^x

2⁶⁰ = 2^log₂4 ⋅ 2^x

2⁶⁰ = 2^{x + log₂4}

60 = x + log₂4

x = 60 – log₂4 = 60 – 2 = 58 минут

Заметим, что при вычислениях нам понадобилось привести число 4 к степени с основанием 2. Для этого было использовано основное логарифмическое тождество:

4 = 2^log₂4

Ответ: 58

В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:

ЧИСЛО МИНУТ = 60 ⋅ N – log₂K

где N – число часов, за которое одна амеба заполняет всю пробирку амебами, K – количество амеб, которое помещается в пробирку.

Осталось лишь подставить все значения и получить ответ.

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 20

Поделитесь статьей с одноклассниками «Биологи открыли разновидность амёб – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.