ГлавнаяМатематикаКак решатьВрач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме

2017-03-01 19:18:52

Формулировка задачи: Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять K капель, а в каждый следующий день — на N капель больше, чем в предыдущий. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится M капель?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение:

По условию задачи в первый день пациент должен принять 3 капли, а каждый следующий день на 3 капли больше, чем предыдущий. Получили арифметическую прогрессию

a1 = 3

d = 3

an = 30

Вычислим число n по формуле n-ого члена арифметической прогрессии:

an = a1 + d ⋅ (n - 1)

30 = 3 + 3 ⋅ (n - 1)

30 = 3 + 3n – 3

3n = 30

n = 10

Получается, что пациент принимает капли по возрастающей в течение 10 дней. И вычислим их сумму (сумму n членов арифметической прогрессии):

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

S10 = (3 + 30) ⋅ 10 / 2 = 33 ⋅ 10 / 2 = 330 / 2 = 165

Еще через 3 дня пациент начинает уменьшать количество капель каждый день на 3. Значит с 3 дня мы получаем убывающую арифметическую прогрессию:

a1 = 30

d = –3

an = 3

Обратим внимание, что ее сумма будет равна сумме уже вычисленной арифметической прогрессии:

S = 165

Осталось найти количество капель за весь курс приема:

165 + 30 + 30 + 165 = 390 капель

И разделить это количество на количество капель в 1 пузырьке:

390 / 250 = 1,56

Таким образом, пациенту нужно купить 2 пузырька лекарства на весь курс приема.

Ответ: 2

Пример задачи 2:

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма пациент делает перерыв в 3 дня и продолжает принимать лекарство по обратной схеме: в 19-й день он принимает столько же капель, сколько и в 15-й день, а затем ежедневно уменьшает дозу на 3 капли, пока дозировка не станет меньше 3 капель в день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 200 капель?

Решение:

По условию задачи в первый день пациент должен принять 20 капли, а каждый следующий день на 3 капли больше, чем в предыдущий. Получили арифметическую прогрессию

a1 = 20

d = 3

n = 15

Вычислим n-ый член арифметической прогрессии по формуле:

an = a1 + d ⋅ (n - 1)

a15 = 20 + 3 ⋅ (15 - 1) = 20 + 3 ⋅ 14 = 20 + 42 = 62

И вычислим сумму 15 членов арифметической прогрессии:

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

S15 = (20 + 62) ⋅ 15 / 2 = 82 ⋅ 15 / 2 = 1230 / 2 = 615

Еще через 3 дня пациент начинает уменьшать количество капель каждый день на 3. Получаем убывающую арифметическую прогрессию:

a1 = 62

d = –3

Обратим внимание, что первый член этой прогрессии равен последнему члену уже вычисленной прогрессии, а разность d также равно по модулю, поэтому число 20 также будет членом этой прогрессии, и сумма членов с 62 по 20 будет равна уже вычисленной сумме:

S = 615

Осталось найти сумму оставшихся членов арифметической прогрессии, их можно вычислить перебором, каждый раз вычитая из нового члена 3. Не забываем что прием лекарства завершается после того, как количество капель станет меньше 3:

17 + 14 + 11 + 8 + 5 = 55

Посчитаем количество капель, которое нужно выпить пациенту за весь курс:

615 + 615 + 55 = 1285

И разделим это количество на количество капель в 1 пузырьке:

1285 / 200 = 6,425

Таким образом, пациенту нужно купить 7 пузырьков лекарства на весь курс приема.

Ответ: 7

До экзаменов еще есть время!

Наверх