Приведите пример натурального числа, сумма цифр которого равна произведению

Пример задачи:

Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Сразу же отметим, что в числе не может быть цифры 0, так как при наличии хотя бы одного 0, произведение автоматически станет равно 0, а сумма будет равна 0 только в одном случае: если все слагаемые равны 0.

Трехзначное число делится на 4, если число, составленное из 2 последних цифр, делится нацело на 4. Найдем всевозможные двухзначные числа, которые делятся на 4 и в которых отсутствует 0:

Кроме того, мы знаем, что максимальная сумма цифр трехзначного числа равна 27 (9 + 9 + 9). Поэтому из приведенного списка можно вычеркнуть числа, произведение цифр которых больше 27. Остались числа:

Попробуем подобрать первую цифру для этих чисел таким образом, чтобы сумма цифр трехзначного числа была равна их произведению. При этом не забываем, что произведение всех 3 цифр не должно превышать 27. Для удобства начнем с конца:

• Для 92 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 9 ⋅ 2 = 18 больше суммы 1 + 9 + 2 = 12
• Для 72 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 7 ⋅ 2 = 14 больше суммы 1 + 7 + 2 = 10
• Для 64 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 6 ⋅ 4 = 24 больше суммы 1 + 6 + 4 = 11
• Для 52 первой цифрой может быть 1 или 2, иначе произведение цифр превысит 27. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 5 ⋅ 2 = 10, а сумма равна 1 + 5 + 2 = 8. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
• Для 44 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 больше суммы 1 + 4 + 4 = 9
• Для 36 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 18 больше суммы 1 + 3 + 6 = 10
• Для 32 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 3 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 1 + 3 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 132 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, большие цифры можно не проверять.
• Для 28 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 16 больше суммы 1 + 2 + 8 = 11
• Для 24 первой цифрой может быть 1, 2 или 3. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 8, а сумма равна 1 + 2 + 4 = 7. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
• Для 16 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 6 = 6, а сумма равна 1 + 1 + 6 = 8. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 6 = 12, а сумма равна 2 + 1 + 6 = 9. Произведение больше суммы, значит другие цифры можно и не проверять.
• Для 12 первой цифрой может быть любая (кроме 0). Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2, а сумма равна 1 + 1 + 2 = 4. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4, а сумма равна 2 + 1 + 2 = 5. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 3, произведение равно 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 3 + 1 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 312 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, другие цифры можно не проверять.

Ответ: 132 или 312