ГлавнаяМатематикаКак решатьПриведите пример натурального числа, сумма цифр которого равна произведению

Приведите пример натурального числа, сумма цифр которого равна произведению

2017-03-26 20:41:16

Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного/четырехзначного натурального числа, кратного N, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Сразу же отметим, что в числе не может быть цифры 0, так как при наличии хотя бы одного 0, произведение автоматически станет равно 0, а сумма будет равна 0 только в одном случае: если все слагаемые равны 0.

Трехзначное число делится на 4, если число, составленное из 2 последних цифр, делится нацело на 4. Найдем всевозможные двухзначные числа, которые делятся на 4 и в которых отсутствует 0:

12, 16, 24, 28, 32, 36,

44, 48, 52, 56, 64, 68,

72, 76, 84, 88, 92, 96

Кроме того, мы знаем, что максимальная сумма цифр трехзначного числа равна 27 (9 + 9 + 9). Поэтому из приведенного списка можно вычеркнуть числа, произведение цифр которых больше 27. Остались числа:

12, 16, 24, 28, 32, 36,

44, 52, 64, 72, 92

Попробуем подобрать первую цифру для этих чисел таким образом, чтобы сумма цифр трехзначного числа была равна их произведению. При этом не забываем, что произведение всех 3 цифр не должно превышать 27. Для удобства начнем с конца:

  • Для 92 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 9 ⋅ 2 = 18 больше суммы 1 + 9 + 2 = 12
  • Для 72 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 7 ⋅ 2 = 14 больше суммы 1 + 7 + 2 = 10
  • Для 64 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 6 ⋅ 4 = 24 больше суммы 1 + 6 + 4 = 11
  • Для 52 первой цифрой может быть 1 или 2, иначе произведение цифр превысит 27. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 5 ⋅ 2 = 10, а сумма равна 1 + 5 + 2 = 8. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
  • Для 44 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 больше суммы 1 + 4 + 4 = 9
  • Для 36 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 18 больше суммы 1 + 3 + 6 = 10
  • Для 32 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 3 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 1 + 3 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 132 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, большие цифры можно не проверять.
  • Для 28 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 16 больше суммы 1 + 2 + 8 = 11
  • Для 24 первой цифрой может быть 1, 2 или 3. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 8, а сумма равна 1 + 2 + 4 = 7. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
  • Для 16 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 6 = 6, а сумма равна 1 + 1 + 6 = 8. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 6 = 12, а сумма равна 2 + 1 + 6 = 9. Произведение больше суммы, значит другие цифры можно и не проверять.
  • Для 12 первой цифрой может быть любая (кроме 0). Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2, а сумма равна 1 + 1 + 2 = 4. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4, а сумма равна 2 + 1 + 2 = 5. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 3, произведение равно 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 3 + 1 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 312 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, другие цифры можно не проверять.

Ответ: 132 или 312

До экзаменов еще есть время!

Наверх