ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите четырёхзначное натуральное число, которое делится на каждую свою цифру

Найдите четырёхзначное натуральное число, которое делится на каждую свою цифру

2017-03-26 15:58:24

Формулировка задачи: Найдите четырёхзначное натуральное число, большее A, но меньшее B, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

abcd < 1360

Сразу же понимаем, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не потребуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 2 или 3, чтобы попасть в интервал.

Пусть b равно 2, тогда в данный момент число равно 12cd. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным, то есть d может быть равно 4 или 6 или 8 (0 нельзя использовать по условию, а цифра 2 уже использована).

Если d равно 4, текущее число равно 12c4. Чтобы оно делилось на 4, нужно чтобы число c4, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. Таким образом, c может быть равно:

c = 3: 34 не делится на 4

c = 5: 54 не делится на 4

c = 6: 64 / 4 = 16 ⇒ число равно 1264

c = 7: 74 не делится на 4

c = 8: 84 / 4 = 21 ⇒ число равно 1284

c = 9: 94 не делится на 4

Если число равно 1264, оно должно делиться на 6 (быть четным и сумма цифр числа должна делиться на 3). Число является четным, однако сумма цифр равна 13 и она не делится на 3. То есть число 1264 не подходит. Если число равно 1284, оно должно делиться на 8 (число, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8). 284 на 8 нацело не делится. То есть число 1284 не подходит.

Если d равно 6, текущее число равно 12c6. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно было четным и сумма цифр делилась на 3. Число четным является, сумма цифр числа равна:

1 + 2 + c + 6 = c + 9

Получается, что цифра c может быть равна 3 или 9, тогда сумма цифр будет делиться на 3 (6 не подходит, так как уже d = 6). Если c = 3, число равно 1236, оно должно делиться на 3, то есть сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа равна 12, она делится на 3, значит число 1236 подходит в качестве ответа. Если c = 9, число равно 1296, оно должно делиться на 9, то есть сумма цифр должна делиться на 9. Сумма цифр числа равна 18, она делится на 9, значит число 1296 подходит в качестве ответа.

Если d равно 8, текущее число равно 12c8. Чтобы число делилось на 8, нужно чтобы число 2c8, составленное из 3 последних цифр, делилось на 8. Не забываем, что цифры в числе не могут повторяться. Таким образом, c может быть равно:

c = 3: 238 не делится на 8

c = 4: 248 / 8 = 31 ⇒ число равно 1248

c = 5: 258 не делится на 8

c = 6: 268 не делится на 8

c = 7: 278 не делится на 8

c = 9: 298 не делится на 8

Если число равно 1248, оно должно делиться на 4. Так как это число делится на 8, то оно делится и на 4 (4 является множителем для 8). Значит число 1248 подходит в качестве ответа.

Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Сумма цифр числа равна:

1 + 3 + c + d = 4 + c + d

Цифра c может быть равна 2 или 4 или 5 (не больше, так как число должно быть меньше 1360, а цифры 1 и 3 уже использованы).

Если c равно 2, текущее число равно 132d. Текущая сумма цифр равна 6 + d. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным. Значит d может быть равно:

d = 4: число равно 1324, сумма цифр равна 10, не делится на 3

d = 6: число равно 1326, сумма цифр равна 12, делится на 3

d = 8: число равно 1328, сумма цифр равна 14, не делится на 3

Если число равно 1326, оно должно делиться на 6. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно было четным и сумма цифр делилась на 3. Число является четным, сумма цифр на 3 делится. Значит число 1326 подходит в качестве ответа.

Если c равно 4, текущее число равно 134d. Текущая сумма цифр равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4.То есть d может быть равно 8 (цифра 4 уже используется, 0 использовать нельзя по условию). Однако сумма цифр числа равна 16 и она не делится на 3. Значит это число не подойдет в качестве ответа.

Если c равно 5, текущее число равно 135d. Текущая сумма цифр равна 9 + d. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Однако по условию в числе не может быть цифры 0, а цифра 5 уже использована.

Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1236, 1248, 1296 или 1326.

Ответ: 1236 или 1296 или 1248 или 1326

Пример задачи 2:

Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

1340 < abcd < 1640

Сразу же понимаем, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не потребуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 3, 4, 5 или 6, чтобы попасть в интервал.

Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3. В данном случае сумма цифр равна:

1 + 3 + c + d = 4 + c + d

Чтобы попадать в интервал, нужно чтобы c было равно 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Если c равно 4, число будет равно 134d. Сумма цифр будет равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. На 4 делятся числа 40, 44 или 48. Цифра d может быть равна только 8, так как по условию 0 не может быть в числе, а 4 уже есть в числе. Если d равно 8, число равно 1348, сумма цифр равна 16, она не делится на 3, поэтому число не подойдет.

Если c равно 5, число будет равно 135d. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5, но ни то ни другое невозможно.

Если c равно 6, число будет равно 136d. Сумма цифр будет равна 10 + d. Чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным и делиться на 3. Значит d может быть равно 2, 4 или 8 (6 уже использовано, 0 нельзя использовать). Если d равно 2, число равно 1362, сумма его цифр равна 12 и она делится на 3. Также это число является четным. Таким образом, число делится на каждую свою цифру и может быть указано в качестве ответа.

Если d равно 4, число равно 1364, сумма его цифр равна 14, она не делится на 3. Если d равно 8, число равно 1368, сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. Также это число должно делиться на 8, для этого число 368, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8. Оно делится на 8, значит это число можно указать в качестве ответа.

Если c равно 7, число будет равно 137d. Сумма его цифр будет равна 11 + d. Признака делимости на 7 не существует, поэтому попробуем подобрать такую цифру d, чтобы сумма цифр делилась на 3. А уже потом разделим получившееся число на 7 для проверки. Цифра d может быть равна только 4 (так как 1 и 7 уже использованы), так как сумма будет равна 15 и она делится на 3. Число равно 1374. Чтобы оно делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4, а 74 на 4 не делится. То есть число 1374 не подойдет.

Если c равно 8, число будет равно 138d. Сумма цифр числа будет равна 12 + d. Чтобы число делилось на 8, нужно чтобы число 38d делилось на 8. Значит цифра d может быть равна 4 (384/8 = 48). В этом случае число равно 1384. Сумма его цифр равна 16, она не делится на 3, значит число не подойдет.

Если c равно 9, число будет равно 139d. Сумма цифр числа будет равна 13 + d. Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9. Цифра d в данном случае может быть равна только 5. Если число равно 1395, сумма его цифр также делится и на 3. Число также должно делиться на 5, то есть заканчиваться на 5. Это условие также соблюдается. Значит число 1395 подойдет в качестве ответа.

Пусть b равно 4, тогда в данный момент число равно 14cd. Чтобы число 14cd делилось на 4, нужно чтобы число cd делилось на 4. Подберем возможные числа cd, чтобы в них не было цифр 1,4 и 0 и цифры были разными, которые будут делиться на 4:

28, 32, 36, 52, 56,

68, 72, 76, 92, 96

Пусть итоговое число равно:

  • 1428: Оно делится на 2, так как четное. Но 428 не делится на 8, значит и само число на 8 не делится.
  • 1432: Оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 10, она не делится на 3. Значит и число 1432 на 3 не делится.
  • 1436: Достаточно проверить, делится ли оно на 6, так как 3 является множителем у 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Число четное (делится на 2), а сумма цифр равна 14, она не делится на 3.
  • 1452 или 1456: Оно не делится на 5, так как заканчивается не на 5.
  • 1468: Оно четное (делится на 2), сумма цифр равна 19, она не делится на 3. Значит число на 6 не делится.
  • 1472: Оно делится на 2, так как четное. Однако число не делится нацело на 7.
  • 1476: Оно четное, сумма цифр равна 18, значит число делится на 6. Однако это число не делится на 7.
  • 1492: Оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 16, она не делится на 9.
  • 1496: Сумма цифр числа равна 20, она не делится на 9.

Пусть b равно 5, тогда в данный момент число равно 15cd. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Число не может заканчиваться на 0 по условию задачи, а также цифра 5 не может повторяться в числе.

Пусть b равно 6, тогда в данный момент число равно 16cd. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы число было четным и сумма цифр числа делилась на 3. В данном случае сумма цифр равна:

1 + 6 + c + d = 7 + c + d

Чтобы попадать в интервал, нужно чтобы c было равно 2 или 3.

Если c равно 2, число будет равно 162d. Сумма цифр числа равна 9 + d. Значит d может быть равно 3 или 9 (чтобы сумма делилась на 3). Однако ни тот ни другой вариант не подойдет, так как число должно быть четным.

Если c равно 3, число будет равно 163d. Сумма цифр числа равна 10 + d. Значит d может быть равно 2, 5 или 8 (чтобы сумма делилась на 3). Цифра 5 не подойдет, так как число не будет четным. Этим мы сразу же проверили делимость числа на 3 и на 6. Осталось проверить цифры 2 и 8. Если число равно 1632, оно является четным (делится на 2), значит его можно указать в качестве ответа. Если число равно 1638, то нужно проверить делится ли оно на 8. Однако на 8 оно не делится, так как 638 на 8 нацело не делится.

Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1362, 1368, 1395 или 1632. Достаточно было получить первое число и закончить на этом решение, но мы показали, как можно отыскать все возможные варианты.

Ответ: 1362 или 1368 или 1395 или 1632

До экзаменов еще есть время!

Наверх