Найдите четырёхзначное натуральное число, которое делится на каждую свою цифру

Пример задачи 1:

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

Сразу же понимаем, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не потребуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 2 или 3, чтобы попасть в интервал.

Пусть b равно 2, тогда в данный момент число равно 12cd. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным, то есть d может быть равно 4 или 6 или 8 (0 нельзя использовать по условию, а цифра 2 уже использована).

Если d равно 4, текущее число равно 12c4. Чтобы оно делилось на 4, нужно чтобы число c4, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. Таким образом, c может быть равно:

Если число равно 1264, оно должно делиться на 6 (быть четным и сумма цифр числа должна делиться на 3). Число является четным, однако сумма цифр равна 13 и она не делится на 3. То есть число 1264 не подходит. Если число равно 1284, оно должно делиться на 8 (число, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8). 284 на 8 нацело не делится. То есть число 1284 не подходит.

Если d равно 6, текущее число равно 12c6. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно было четным и сумма цифр делилась на 3. Число четным является, сумма цифр числа равна:

Получается, что цифра c может быть равна 3 или 9, тогда сумма цифр будет делиться на 3 (6 не подходит, так как уже d = 6). Если c = 3, число равно 1236, оно должно делиться на 3, то есть сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа равна 12, она делится на 3, значит число 1236 подходит в качестве ответа. Если c = 9, число равно 1296, оно должно делиться на 9, то есть сумма цифр должна делиться на 9. Сумма цифр числа равна 18, она делится на 9, значит число 1296 подходит в качестве ответа.

Если d равно 8, текущее число равно 12c8. Чтобы число делилось на 8, нужно чтобы число 2c8, составленное из 3 последних цифр, делилось на 8. Не забываем, что цифры в числе не могут повторяться. Таким образом, c может быть равно:

Если число равно 1248, оно должно делиться на 4. Так как это число делится на 8, то оно делится и на 4 (4 является множителем для 8). Значит число 1248 подходит в качестве ответа.

Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Сумма цифр числа равна:

Цифра c может быть равна 2 или 4 или 5 (не больше, так как число должно быть меньше 1360, а цифры 1 и 3 уже использованы).

Если c равно 2, текущее число равно 132d. Текущая сумма цифр равна 6 + d. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным. Значит d может быть равно:

Если число равно 1326, оно должно делиться на 6. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно было четным и сумма цифр делилась на 3. Число является четным, сумма цифр на 3 делится. Значит число 1326 подходит в качестве ответа.

Если c равно 4, текущее число равно 134d. Текущая сумма цифр равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4.То есть d может быть равно 8 (цифра 4 уже используется, 0 использовать нельзя по условию). Однако сумма цифр числа равна 16 и она не делится на 3. Значит это число не подойдет в качестве ответа.

Если c равно 5, текущее число равно 135d. Текущая сумма цифр равна 9 + d. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Однако по условию в числе не может быть цифры 0, а цифра 5 уже использована.

Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1236, 1248, 1296 или 1326.

Ответ: 1236 или 1296 или 1248 или 1326

Пример задачи 2:

Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи

Сразу же понимаем, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не потребуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 3, 4, 5 или 6, чтобы попасть в интервал.

Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3. В данном случае сумма цифр равна:

Чтобы попадать в интервал, нужно чтобы c было равно 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Если c равно 4, число будет равно 134d. Сумма цифр будет равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. На 4 делятся числа 40, 44 или 48. Цифра d может быть равна только 8, так как по условию 0 не может быть в числе, а 4 уже есть в числе. Если d равно 8, число равно 1348, сумма цифр равна 16, она не делится на 3, поэтому число не подойдет.

Если c равно 5, число будет равно 135d. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5, но ни то ни другое невозможно.

Если c равно 6, число будет равно 136d. Сумма цифр будет равна 10 + d. Чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным и делиться на 3. Значит d может быть равно 2, 4 или 8 (6 уже использовано, 0 нельзя использовать). Если d равно 2, число равно 1362, сумма его цифр равна 12 и она делится на 3. Также это число является четным. Таким образом, число делится на каждую свою цифру и может быть указано в качестве ответа.

Если d равно 4, число равно 1364, сумма его цифр равна 14, она не делится на 3. Если d равно 8, число равно 1368, сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. Также это число должно делиться на 8, для этого число 368, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8. Оно делится на 8, значит это число можно указать в качестве ответа.

Если c равно 7, число будет равно 137d. Сумма его цифр будет равна 11 + d. Признака делимости на 7 не существует, поэтому попробуем подобрать такую цифру d, чтобы сумма цифр делилась на 3. А уже потом разделим получившееся число на 7 для проверки. Цифра d может быть равна только 4 (так как 1 и 7 уже использованы), так как сумма будет равна 15 и она делится на 3. Число равно 1374. Чтобы оно делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4, а 74 на 4 не делится. То есть число 1374 не подойдет.

Если c равно 8, число будет равно 138d. Сумма цифр числа будет равна 12 + d. Чтобы число делилось на 8, нужно чтобы число 38d делилось на 8. Значит цифра d может быть равна 4 (384/8 = 48). В этом случае число равно 1384. Сумма его цифр равна 16, она не делится на 3, значит число не подойдет.

Если c равно 9, число будет равно 139d. Сумма цифр числа будет равна 13 + d. Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9. Цифра d в данном случае может быть равна только 5. Если число равно 1395, сумма его цифр также делится и на 3. Число также должно делиться на 5, то есть заканчиваться на 5. Это условие также соблюдается. Значит число 1395 подойдет в качестве ответа.

Пусть b равно 4, тогда в данный момент число равно 14cd. Чтобы число 14cd делилось на 4, нужно чтобы число cd делилось на 4. Подберем возможные числа cd, чтобы в них не было цифр 1,4 и 0 и цифры были разными, которые будут делиться на 4:

Пусть итоговое число равно:

• 1428: Оно делится на 2, так как четное. Но 428 не делится на 8, значит и само число на 8 не делится.
• 1432: Оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 10, она не делится на 3. Значит и число 1432 на 3 не делится.
• 1436: Достаточно проверить, делится ли оно на 6, так как 3 является множителем у 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Число четное (делится на 2), а сумма цифр равна 14, она не делится на 3.
• 1452 или 1456: Оно не делится на 5, так как заканчивается не на 5.
• 1468: Оно четное (делится на 2), сумма цифр равна 19, она не делится на 3. Значит число на 6 не делится.
• 1472: Оно делится на 2, так как четное. Однако число не делится нацело на 7.
• 1476: Оно четное, сумма цифр равна 18, значит число делится на 6. Однако это число не делится на 7.
• 1492: Оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 16, она не делится на 9.
• 1496: Сумма цифр числа равна 20, она не делится на 9.

Пусть b равно 5, тогда в данный момент число равно 15cd. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Число не может заканчиваться на 0 по условию задачи, а также цифра 5 не может повторяться в числе.

Пусть b равно 6, тогда в данный момент число равно 16cd. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы число было четным и сумма цифр числа делилась на 3. В данном случае сумма цифр равна:

Чтобы попадать в интервал, нужно чтобы c было равно 2 или 3.

Если c равно 2, число будет равно 162d. Сумма цифр числа равна 9 + d. Значит d может быть равно 3 или 9 (чтобы сумма делилась на 3). Однако ни тот ни другой вариант не подойдет, так как число должно быть четным.

Если c равно 3, число будет равно 163d. Сумма цифр числа равна 10 + d. Значит d может быть равно 2, 5 или 8 (чтобы сумма делилась на 3). Цифра 5 не подойдет, так как число не будет четным. Этим мы сразу же проверили делимость числа на 3 и на 6. Осталось проверить цифры 2 и 8. Если число равно 1632, оно является четным (делится на 2), значит его можно указать в качестве ответа. Если число равно 1638, то нужно проверить делится ли оно на 8. Однако на 8 оно не делится, так как 638 на 8 нацело не делится.

Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1362, 1368, 1395 или 1632. Достаточно было получить первое число и закончить на этом решение, но мы показали, как можно отыскать все возможные варианты.

Ответ: 1362 или 1368 или 1395 или 1632