ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите наименьшее пятизначное число, произведение цифр которого больше

Найдите наименьшее пятизначное число, произведение цифр которого больше

2017-03-23 20:37:27

Формулировка задачи: Найдите наименьшее пятизначное число, кратное N, произведение цифр которого больше A, но меньше B.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.

Решение:

Для удобства назовем наше число abcde, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – десятки тысяч, b – тысячи, c – сотни, d – десятки и e – единицы. По условию задачи

50 < a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ e < 75

Попробуем подобрать возможные наборы из 5 цифр, которые будут соответствовать данному соотношению.

По условию задачи пятизначное число должно быть кратно 55, то есть оно должно делиться нацело на 5 и 11. Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. В нашем числе не может быть множителя 0, так как произведение сразу же становится равно 0. Значит, e = 5.

Чтобы число делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр, стоящих на четных местах, была равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличаться на 11. Поэтому после поиска возможных наборов чисел нужно будет проверить, выполняется ли это свойство.

Поскольку e = 5, произведение цифр числа будет делиться на 5, то есть оно может быть равно 55, 60, 65 или 70, чтобы находиться в заданном диапазоне. Пусть произведение цифр числа равно 55, разложим его на множители:

55 = 11 ⋅ 5

Данный вариант не подходит, так как одним из множителей является простое число 11, которое не поместится в 1 разряд.

Пусть произведение цифр равно 60. Разложим его на множители таким образом, чтобы их было ровно 5 и все они были цифрами:

60 = 6 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1

В результате разложения было получено три набора цифр. Рассмотрим пока другие произведения, и потом вернемся ко все возможным вариантам.

Пусть произведение цифр равно 65. Его не получится разложить на 5 множителей-цифр, так как множитель 13 цифрой не является:

65 = 13 ⋅ 5

Пусть произведение цифр равно 70. Разложим его на множители таким образом, чтобы их было ровно 5 и все они были цифрами:

70 = 7 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1

В результате разложения было получено четыре возможных набора цифр. Теперь нужно проверить, какие из наборов будут делиться на 11 (сумма цифр, стоящих на четных местах, должна быть равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличаться на 11). При этом нужно не забывать что цифра 5 должна стоять на последнем месте, а это место является нечетным. В пятизначном числе 3 нечетных позиции и 2 четных, значит число 5 должно быть среди 3 цифр, а в другую группу должны входить 2 цифры.

6, 5, 2, 1, 1: невозможно разбить

5, 4, 3, 1, 1: 5 + 1 + 1 = 4 + 3; это числа 14135, 13145

5, 3, 2, 2, 1: невозможно разбить

7, 5, 2, 1, 1: 5 + 2 + 1 = 7 + 1; это числа 27115, 21175, 17215, 11275

Среди приведенных вариантов минимальным числом является 11275.

Ответ: 11275

До экзаменов еще есть время!

Наверх