ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите четырёхзначное число, все цифры которого различны и чётны

Найдите четырёхзначное число, все цифры которого различны и чётны

2017-03-21 20:42:17

Формулировка задачи: Найдите четырёхзначное число, кратное N, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел, а также уметь раскладывать составной делитель на взаимно простые множители. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы четырехзначное число делилось нацело на 88, нужно чтобы оно делилось на 11 и 8. Чтобы четырехзначное число делилось на 8, оно должно заканчиваться на 000 или число, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8. Чтобы четырехзначное число делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр на четных местах была равна сумме цифр на нечетных местах или чтобы эти суммы отличались на 11.

В данном случае в числе могут быть только цифры 0, 2, 4, 6 и 8 – так как они являются четными, причем каждая из цифр в числе может встречаться только 1 раз. Для начала подберем наборы из 4 цифр, из которых можно составить число, которое будет делиться на 11, то есть сумма 2 цифр должна быть равна сумме двух других цифр либо отличаться на 11:

Для набора 2, 4, 6, 8: 2 + 8 = 4 + 6

Для набора 0, 4, 6, 8: не подобрать

Для набора 0, 2, 6, 8: 2 + 6 = 0 + 8

Для набора 0, 2, 4, 8: не подобрать

Для набора 0, 2, 4, 6: 2 + 4 = 0 + 6

Таким образом, было получено 3 набора цифр. Теперь из них нужно составить из этих наборов числа, которые будут делиться на 11:

2486, 2684, 8426, 8624, 4268, 6248, 4862, 6842

2068, 2860, 6028, 6802, 8206, 8602

2046, 2640, 4026, 4620, 6204, 6402

Проверим, какие из чисел делятся на 8. Так как чисел достаточно много, мы можем сначала проверить, какие из них делятся на 4 (так как 4 – это множитель у 8), а потом уже выбранные числа проверить на деление на 8. Число делится на 4, если оно заканчивается на 00 или число, составленное из 2 последних цифр, делится на 4. Деление двухзначного числа на 4 проверить проще, чем деление трехзначного числа на 8:

86, 26, 62, 42, 02, 06, 46 – не делятся на 4

84, 24, 68, 48, 60, 28, 40, 20, 04 – делятся на 4

Значит остались числа:

2684, 8624, 4268, 6248, 2068, 2860, 6028, 2640, 4620, 6204

Проверим, делятся ли они на 8 (число из 3 последних цифр должно делиться на 8):

684, 268, 068, 860, 028, 620, 204 – не делятся на 8

624, 248, 640 – делятся на 8

Значит в качестве ответа можно указать одно из этих чисел: 8624, 6248, 2640.

Ответ: 8624 или 6248 или 2640

До экзаменов еще есть время!

Наверх