Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке
Формулировка задачи: Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке L минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на M минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности N часов K минут, если будет следовать советам тренера?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?
Для начала переведем часы в минуты, чтобы все условие было в одинаковых единицах измерения:
2 часа 25 минут = 2 ⋅ 60 минут + 25 минут = 120 минут + 25 минут = 145 минут
Теперь обратим внимание на само условие. Дано начальное значение 15 минут, каждый следующий раз увеличивается на 7 минут, а сумма всех этих результатов равна 145 минут. Это арифметическая прогрессия:
a1 = 15
d = 7
Sn = 145
Получается, что нужно найти n, для этого воспользуемся формулами:
Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2
an = a1 + d(n - 1)
Подставим формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии в формулу суммы и вычислим n:
Sn = (2a1 + d(n - 1)) ⋅ n / 2
145 = (2 ⋅ 15 + 7 ⋅ (n – 1)) ⋅ n / 2
290 = (30 + 7n – 7) ⋅ n
(23 + 7n) ⋅ n = 290
7n2 + 23n – 290 = 0
Решим квадратное уравнение:
7n2 + 23n – 290 = 0
a = 7, b = 23, c = -290
D = 232 – 4 ⋅ 7 ⋅ (-290) = 529 + 8120 = 8649
n1 = (-23 + 93) / (2 ⋅ 7) = 70 / 14 = 5
n2 = (-23 – 93) / (2 ⋅ 7) = 70 / 14 = -8,2857... < 0
Получается, что Андрей проведет на беговой дорожке 5 занятий, так как второе число отрицательное.
5
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии
- Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника, найдите периметр
- Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника, найдите площадь
- В таблице три столбца и несколько строк, в каждую клетку таблицы вписали
- Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец
- Улитка за день заползает вверх по дереву
Есть другой способ решения?