ГлавнаяМатематикаКак решатьТренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке

2017-02-27 19:29:32

Формулировка задачи: Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке L минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на M минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности N часов K минут, если будет следовать советам тренера?

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?

Решение:

Для начала переведем часы в минуты, чтобы все условие было в одинаковых единицах измерения:

2 часа 25 минут = 2 ⋅ 60 минут + 25 минут = 120 минут + 25 минут = 145 минут

Теперь обратим внимание на само условие. Дано начальное значение 15 минут, каждый следующий раз увеличивается на 7 минут, а сумма всех этих результатов равна 145 минут. Это арифметическая прогрессия:

a1 = 15

d = 7

Sn = 145

Получается, что нужно найти n, для этого воспользуемся формулами:

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

an = a1 + d(n - 1)

Подставим формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии в формулу суммы и вычислим n:

Sn = (2a1 + d(n - 1)) ⋅ n / 2

145 = (2 ⋅ 15 + 7 ⋅ (n – 1)) ⋅ n / 2

290 = (30 + 7n – 7) ⋅ n

(23 + 7n) ⋅ n = 290

7n2 + 23n – 290 = 0

Решим квадратное уравнение:

7n2 + 23n – 290 = 0

a = 7, b = 23, c = -290

D = 232 – 4 ⋅ 7 ⋅ (-290) = 529 + 8120 = 8649

n1 = (-23 + 93) / (2 ⋅ 7) = 70 / 14 = 5

n2 = (-23 – 93) / (2 ⋅ 7) = 70 / 14 = -8,2857... < 0

Получается, что Андрей проведет на беговой дорожке 5 занятий, так как второе число отрицательное.

Ответ: 5

До экзаменов еще есть время!

Наверх