ГлавнаяМатематикаТеорияРешение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

2016-01-23 19:51:06

Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax² + bx + c = 0

где a, b, c - коэффициенты, причем a ≠ 0, а x – неизвестное, которое нужно найти.

Квадратное уравнение можно свести к приведенному виду – это вид, при котором коэффициент a = 1.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Решение квадратного уравнения через дискриминант выполняется по строго определенному алгоритму:

1. Вычислить дискриминант по формуле

D = b² - 4ac

2. Если D < 0 - уравнение не имеет корней

3. Если D > 0 - уравнение имеет 2 корня, которые вычисляются по формулам:

x1 = (-b + √D) / (2a)

x2 = (-b - √D) / (2a)

4. Если D = 0 - уравнение имеет ровно 1 корень, который вычисляется по формуле:

x = -b / (2a)

Теорема Виета для решения квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решить и с помощью теоремы Виета.

Теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену этого уравнения.

То есть, чтобы решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета, достаточно подобрать такие x1 и x2, чтобы выполнялось:

x1 + x2 = -b / a

x1 ⋅ x2 = с / a

Пример решения квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение 2x² - 16x + 30 = 0 двумя способами.

Решение через дискриминант:

a = 2, b = -16, c = 30

D = (-16)² - 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 256 - 240 = 16

D > 0 => имеется 2 различных корня

x1 = (-(-16) + √16) / (2 ⋅ 2) = (16 + 4) / 4 = 5

x2 = (-(-16) - √16) / (2 ⋅ 2) = (16 - 4) / 4 = 3

Ответ: 3 и 5

Решение через теорему Виета:

a = 2, b = -16, c = 30

x1 + x2 = -(-16) / 2 = 8

x1 ⋅ x2 = 30 / 2 = 15

Разложим 15 на возможные пары множителей:

15 = 1 ⋅ 15 = (-1) ⋅ (-15) = 3 ⋅ 5 = (-3) ⋅ (-5)

И проверим, какие из них подойдут в качестве решения:

1 + 15 = 16 ≠ 8

-1 - 15 = -16 ≠ 8

3 + 5 = 8

-3 - 5 = -8 ≠ 8

Таким образом, в качестве корней подойдут только 3 и 5.

Ответ: 3 и 5

После решения любого уравнения рекомендуется подставить полученные корни в начальное уравнение, чтобы проверить правильность решения.

Для проверки результатов можно воспользоваться онлайн-калькулятором для решения квадратных уравнений.

До экзаменов еще есть время!

Наверх