Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax² + bx + c = 0
где a, b, c - коэффициенты, причем a ≠ 0, а x – неизвестное, которое нужно найти.
Квадратное уравнение можно свести к приведенному виду – это вид, при котором коэффициент a = 1.
Решение квадратного уравнения через дискриминант
Решение квадратного уравнения через дискриминант выполняется по строго определенному алгоритму:
1. Вычислить дискриминант по формуле
D = b² - 4ac
2. Если D < 0 - уравнение не имеет корней
3. Если D > 0 - уравнение имеет 2 корня, которые вычисляются по формулам:
x1 = (-b + √D) / (2a)
x2 = (-b - √D) / (2a)
4. Если D = 0 - уравнение имеет ровно 1 корень, который вычисляется по формуле:
x = -b / (2a)
Теорема Виета для решения квадратного уравнения
Квадратное уравнение можно решить и с помощью теоремы Виета.
Теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену этого уравнения.
То есть, чтобы решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета, достаточно подобрать такие x1 и x2, чтобы выполнялось:
x1 + x2 = -b / a
x1 ⋅ x2 = с / a
Пример решения квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение 2x² - 16x + 30 = 0 двумя способами.
a = 2, b = -16, c = 30
D = (-16)² - 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 256 - 240 = 16
D > 0 => имеется 2 различных корня
x1 = (-(-16) + √16) / (2 ⋅ 2) = (16 + 4) / 4 = 5
x2 = (-(-16) - √16) / (2 ⋅ 2) = (16 - 4) / 4 = 3
3 и 5
a = 2, b = -16, c = 30
x1 + x2 = -(-16) / 2 = 8
x1 ⋅ x2 = 30 / 2 = 15
Разложим 15 на возможные пары множителей:
15 = 1 ⋅ 15 = (-1) ⋅ (-15) = 3 ⋅ 5 = (-3) ⋅ (-5)
И проверим, какие из них подойдут в качестве решения:
1 + 15 = 16 ≠ 8
-1 - 15 = -16 ≠ 8
3 + 5 = 8
-3 - 5 = -8 ≠ 8
Таким образом, в качестве корней подойдут только 3 и 5.
3 и 5
После решения любого уравнения рекомендуется подставить полученные корни в начальное уравнение, чтобы проверить правильность решения.
Для проверки результатов можно воспользоваться онлайн-калькулятором для решения квадратных уравнений.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.