Докажите, что если x + 1/x - целое, то x^n + (1/x)^n - тоже целое

2016-10-03 19:38:27

Формулировка задания: Докажите, что если x + 1/x - целое, то xⁿ + (1/x)ⁿ - тоже целое.

Решение:

Воспользуемся методом индукции для доказательства. Если n равно нулю, тогда:

n = 0 ⇒

x⁰ + (1/x)⁰ = 1 + 1 = 2 — целое

Если n равно единице, тогда:

n = 1 ⇒

x¹ + (1/x)¹ = x + 1/x — целое по условию

Пусть мы доказали, что x + 1/x, x² + (1/x)², ..., x^k-1 + (1/x)^k-1, x^k + (1/x)^k – это целые числа. Докажем, что x^k+1 + (1/x)^k+1 также является целым числом. Для этого умножим x^k + (1/x)^k на x + 1/x:

(x^k + (1/x)^k) ⋅ (x + 1/x) = x^k+1 + x^k-1 + (1/x)^k-1 + (1/x)^k+1

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями при x:

(x^k + (1/x)^k) ⋅ (x + 1/x) = (x^k+1 + (1/x)^k+1) + (x^k-1 + (1/x)^k-1)

Выразим, чему равно x^k+1 + (1/x)^k+1:

x^k+1 + (1/x)^k+1 = (x^k + (1/x)^k) ⋅ (x + 1/x) – (x^k-1 + (1/x)^k-1)

Поскольку множители x^k + (1/x)^k и x + 1/x являются целыми числами (первое из доказанного, второе из условия), значит и их произведение также целое. Число x^k-1 + (1/x)^k-1 является целым, значит и разность будет также целой. Следовательно, число x^k+1 + (1/x)^k+1 является целым.

При отрицательных n все выполняется аналогично.

Ответ: xⁿ + (1/x)ⁿ - целое

Поделитесь статьей с одноклассниками «Докажите, что если x + 1/x - целое, то x^n + (1/x)^n - тоже целое – решение и ответ».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.