ГлавнаяМатематикаТеорияАрифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

2016-01-25 21:46:05

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, ... , an, ..., для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1 = an + d

где d – это разность арифметической прогрессии.

Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, ... является арифметической прогрессией с разностью d = 4.

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

  1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной
    Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, ... является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
  2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной
    Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, ... является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
  3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю
    Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, ... является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.

Основные формулы арифметической прогрессии

Члены арифметической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:

an = a1 + d(n - 1)

Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:

an+1 = an + d

Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:

an-1 = an - d

Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

an = (an-1 + an+1) / 2, где n > 1

Сумма арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Sn = (2a1 + d(n - 1)) ⋅ n / 2

Решение задач на арифметическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.

Задача 1:

Доказать, что последовательность, заданная формулой an = 5 + 4n, является арифметической.

Решение:

Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.

an+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = an+1 - an = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4

Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Задача 2:

Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a1 = -18 и d = 5

Решение:

a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77

S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

Ответ: 77 и 45

Задача 3:

Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, ... . Найти номер этого члена.

Решение:

Пусть n - номер, который нужно найти.

a1 = 8

d = a2 - a1 = 15 - 8 = 7

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n

8 + 7 ⋅ (n - 1) = 85

7 ⋅ n - 7 = 85 - 8

7 ⋅ n = 77 + 7

7 ⋅ n = 84

n = 12

Ответ: 12

Задача 4:

В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.

Решение:

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:

a8 = a1 + d ⋅ 7

a14 = a1 + d ⋅ 13

Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений:

a1 + 7d = 22

a1 + 13d = 34

Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:

–6d = –12

d = 2

Подставляем d в первое уравнение для получения a1:

a1 + 14 = 22

a1 = 8

Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:

an = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n

Ответ: an = 6 + 2n

Задача 5:

Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, ... , если их сумма равна 81.

Решение:

Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:

a1 = 1

d = 3 - 1 = 2

И подставляем известные данные в формулу суммы:

(2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (n - 1)) ⋅ n / 2 = 81

(2 + 2n - 2) ⋅ n = 81 ⋅ 2

2n² = 162

n² = 81

n = 9

Ответ: 9

До экзаменов еще есть время!

Наверх