Экзамены на отлично!
Арифметическая прогрессия
2016-01-25 21:46:05
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, ... , an, ..., для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1 = an + d
где d – это разность арифметической прогрессии.
Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, ... является арифметической прогрессией с разностью d = 4.
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
- Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной
Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, ... является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3. - Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной
Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, ... является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2. - Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю
Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, ... является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.
Основные формулы арифметической прогрессии
Члены арифметической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:
an = a1 + d(n - 1)
Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:
an+1 = an + d
Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:
an-1 = an - d
Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
an = (an-1 + an+1) / 2, где n > 1
Сумма арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна
Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2
Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:
Sn = (2a1 + d(n - 1)) ⋅ n / 2
Решение задач на арифметическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.
Задача 1:
Доказать, что последовательность, заданная формулой an = 5 + 4n, является арифметической.
Решение:
Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.
an+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n
d = an+1 - an = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4
Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.
Задача 2:
Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a1 = -18 и d = 5
Решение:
a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77
S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45
Ответ: 77 и 45
Задача 3:
Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, ... . Найти номер этого члена.
Решение:
Пусть n - номер, который нужно найти.
a1 = 8
d = a2 - a1 = 15 - 8 = 7
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n
8 + 7 ⋅ (n - 1) = 85
7 ⋅ n - 7 = 85 - 8
7 ⋅ n = 77 + 7
7 ⋅ n = 84
n = 12
Ответ: 12
Задача 4:
В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.
Решение:
Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:
a8 = a1 + d ⋅ 7
a14 = a1 + d ⋅ 13
Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений:
a1 + 7d = 22
a1 + 13d = 34
Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:
–6d = –12
d = 2
Подставляем d в первое уравнение для получения a1:
a1 + 14 = 22
a1 = 8
Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:
an = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n
Ответ: an = 6 + 2n
Задача 5:
Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, ... , если их сумма равна 81.
Решение:
Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:
a1 = 1
d = 3 - 1 = 2
И подставляем известные данные в формулу суммы:
(2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (n - 1)) ⋅ n / 2 = 81
(2 + 2n - 2) ⋅ n = 81 ⋅ 2
2n² = 162
n² = 81
n = 9
Ответ: 9
При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.