ГлавнаяМатематикаКак решатьПриведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами

Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами

2017-03-05 14:42:44

Формулировка задачи: Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на N; сумма цифр числа (А + K) также делится на N; число А меньше/больше L. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на 8; сумма цифр числа (А + 2) также делится на 8; число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Пусть наше число равно abcd. В нем каждая буква обозначает конкретную цифру в числе A: a – разряд тысяч, b – разряд сотен, c – разряд десятков, d – разряд единиц. Пусть сумма цифр a + b + c + d делится на 8 нацело. Нужно подобрать такое число A + 2, чтобы сумма его цифр также делилась на 8.

Чтобы сумма цифр числа A + 2 делилась нацело на 8, нужно чтобы она отличалась от суммы цифр числа A на 8, 16, 24, ... . Иначе она не будет делиться на 8. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если d < 8 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:

A + 2 = abc(d + 2)

Сумма его цифр a + b + c + d + 2 отличается от суммы изначального числа A на 2. Поэтому данный вариант не подходит.

Вариант 2. Если d ≥ 8 и c < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:

A + 2 = ab(c + 1)(d – 8)

Разряд единиц получен следующим образом:

d + 2 – 10 = d – 8

То есть к d мы прибавляем 2 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только d – 8.

Сумма цифр этого числа равна

a + b + c + 1 + d – 8 = a + b + c + d – 7

Она отличается от суммы числа A на 7, поэтому данный вариант не подойдет.

Вариант 3. Если d ≥ 8, c = 9, b < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:

A + 2 = a(b + 1)0(d – 8)

Сумма цифр нового числа равна:

a + b + 1 + 0 + d – 8 = a + b + d – 7

Сумма цифр числа A при c = 9 равна:

a + b + 9 + d

Получается, что 2 этих числа отличаются на 16 (9 - (-7)). Такой вариант подойдет.

Вариант 4. Если d ≥ 8, c = 9, b = 9, тогда новое число A + 2 будет равно:

A + 2 = (a + 1)00(d – 8)

Сумма цифр этого числа равна:

a + 1 + 0 + 0 + d – 8 = a + d – 7

Сумма цифр числа A при b = 9 и c = 9 равна:

a + 9 + 9 + d = a + d + 18

Получается, что 2 этих числа отличаются на 25 (18 - (-7)). Этот вариант не подойдет.

Заметим что разряд тысяч a < 3 по условию задачи, поэтому он переполниться не может (так как число А меньше 3000). При этом a > 0, так как число четырехзначное.

Делаем вывод: цифры числа A должны соответствовать правилу:

d ≥ 8

c = 9

b < 9

1 ≤ a < 3

Чтобы сумма цифр числа A делилась на 8, нужно чтобы она была равна 8, 16, 24 или 32 (Сумма цифр четырехзначного числа не может быть больше 36 = 9 + 9 + 9 + 9). Поскольку 1 ≤ a < 3, b < 9, c = 9, d ≥ 8, сумма цифр числа A уже превышает 18 (берем минимальные значения разрядов 1 + 0 + 9 + 8). При этом сумма цифр числа A не может превышать 28 (берем максимальные значения 2 + 8 + 9 + 9). Значит сумма цифр числа A должна быть равна 24.

Пусть сумма цифр числа A равна 24. Так как c = 9, на три остальных разряда остается a + b + d = 24 – 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты:

  • Пусть a = 1, тогда b + d = 15 – 1 = 14
    • d = 8 и b = 6, тогда число равно 1698;
    • d = 9 и b = 5, тогда число равно 1599;
  • Пусть a = 2, тогда b + d = 15 – 2 = 13
    • d = 8 и b = 5, тогда число равно 2598;
    • d = 9 и b = 4, тогда число равно 2499.

Все числа 1698, 1599, 2598 и 2499 соответствуют всем приведенным условиям, поэтому в ответе можно указать любое из них.

Ответ: 1698 или 1599 или 2598 или 2499

Есть другой способ решения?

Наверх