Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами
Формулировка задачи: Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на N; сумма цифр числа (А + K) также делится на N; число А меньше/больше L. В ответе укажите ровно одно такое число.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на 8; сумма цифр числа (А + 2) также делится на 8; число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пусть наше число равно abcd. В нем каждая буква обозначает конкретную цифру в числе A: a – разряд тысяч, b – разряд сотен, c – разряд десятков, d – разряд единиц. Пусть сумма цифр a + b + c + d делится на 8 нацело. Нужно подобрать такое число A + 2, чтобы сумма его цифр также делилась на 8.
Чтобы сумма цифр числа A + 2 делилась нацело на 8, нужно чтобы она отличалась от суммы цифр числа A на 8, 16, 24, ... . Иначе она не будет делиться на 8. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если d < 8 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:
A + 2 = abc(d + 2)
Сумма его цифр a + b + c + d + 2 отличается от суммы изначального числа A на 2. Поэтому данный вариант не подходит.
Вариант 2. Если d ≥ 8 и c < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:
A + 2 = ab(c + 1)(d – 8)
Разряд единиц получен следующим образом:
d + 2 – 10 = d – 8
То есть к d мы прибавляем 2 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только d – 8.
Сумма цифр этого числа равна
a + b + c + 1 + d – 8 = a + b + c + d – 7
Она отличается от суммы числа A на 7, поэтому данный вариант не подойдет.
Вариант 3. Если d ≥ 8, c = 9, b < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:
A + 2 = a(b + 1)0(d – 8)
Сумма цифр нового числа равна:
a + b + 1 + 0 + d – 8 = a + b + d – 7
Сумма цифр числа A при c = 9 равна:
a + b + 9 + d
Получается, что 2 этих числа отличаются на 16 (9 - (-7)). Такой вариант подойдет.
Вариант 4. Если d ≥ 8, c = 9, b = 9, тогда новое число A + 2 будет равно:
A + 2 = (a + 1)00(d – 8)
Сумма цифр этого числа равна:
a + 1 + 0 + 0 + d – 8 = a + d – 7
Сумма цифр числа A при b = 9 и c = 9 равна:
a + 9 + 9 + d = a + d + 18
Получается, что 2 этих числа отличаются на 25 (18 - (-7)). Этот вариант не подойдет.
Заметим что разряд тысяч a < 3 по условию задачи, поэтому он переполниться не может (так как число А меньше 3000). При этом a > 0, так как число четырехзначное.
Делаем вывод: цифры числа A должны соответствовать правилу:
d ≥ 8
c = 9
b < 9
1 ≤ a < 3
Чтобы сумма цифр числа A делилась на 8, нужно чтобы она была равна 8, 16, 24 или 32 (Сумма цифр четырехзначного числа не может быть больше 36 = 9 + 9 + 9 + 9). Поскольку 1 ≤ a < 3, b < 9, c = 9, d ≥ 8, сумма цифр числа A уже превышает 18 (берем минимальные значения разрядов 1 + 0 + 9 + 8). При этом сумма цифр числа A не может превышать 28 (берем максимальные значения 2 + 8 + 9 + 9). Значит сумма цифр числа A должна быть равна 24.
Пусть сумма цифр числа A равна 24. Так как c = 9, на три остальных разряда остается a + b + d = 24 – 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты:
- Пусть a = 1, тогда b + d = 15 – 1 = 14
- d = 8 и b = 6, тогда число равно 1698;
- d = 9 и b = 5, тогда число равно 1599;
- Пусть a = 2, тогда b + d = 15 – 2 = 13
- d = 8 и b = 5, тогда число равно 2598;
- d = 9 и b = 4, тогда число равно 2499.
Все числа 1698, 1599, 2598 и 2499 соответствуют всем приведенным условиям, поэтому в ответе можно указать любое из них.
1698 или 1599 или 2598 или 2499
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами
- Найдите трехзначное натуральное число, большее
- Найдите трёхзначное число, все цифры которого различны
- Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки
- Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр
- Сумма цифр трехзначного числа A делится на N
Есть другой способ решения?