ГлавнаяМатематикаКак решатьПриведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна

2017-03-12 17:31:41

Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна N, а сумма квадратов цифр делится на K, но не делится на L. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи

a + b + c = 20

a2 + b2 + c2

делится на 3, но не делится на 9.

Для начала подберем наборы из 3 цифр, сумма которых равна 20. Сразу же отметим, что в этих наборах не может быть цифр 0 и 1, так как в таком случае на остальные 2 разряда остается 19 (10 + 9) или 20 (10 + 10), которые невозможно разделить на 2 цифры. Возможные варианты:

2 + 9 + 9

3 + 8 + 9

4 + 7 + 9

4 + 8 + 8

5 + 7 + 8

5 + 6 + 9

6 + 7 + 7

6 + 6 + 8

Осталось проверить эти сочетания на второе условие: сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9:

2 + 9 + 9: 22 + 92 + 92 = 4 + 81 + 81 = 166

1 + 6 + 6 = 13 – не делится на 3


3 + 8 + 9: 32 + 82 + 92 = 9 + 64 + 81 = 154

1 + 5 + 4 = 10 – не делится на 3


4 + 7 + 9: 42 + 72 + 92 = 16 + 49 + 81 = 146

1 + 4 + 6 = 11 – не делится на 3


4 + 8 + 8: 42 + 82 + 82 = 16 + 64 + 64 = 144

1 + 4 + 4 = 9 – делится на 3 и на 9


5 + 7 + 8: 52 + 72 + 82 = 25 + 49 + 64 = 138

1 + 3 + 8 = 12 – делится на 3, но не делится на 9


5 + 6 + 9: 52 + 62 + 92 = 25 + 36 + 81 = 142

1 + 4 + 2 = 7 – не делится на 3


6 + 7 + 7: 62 + 72 + 72 = 36 + 49 + 49 = 134

1 + 3 + 4 = 8 – не делится на 3


6 + 6 + 8: 62 + 62 + 82 = 36 + 36 + 64 = 136

1 + 3 + 6 = 10 – не делится на 3

Следовательно, под условие подходит только 1 набор цифр: 5, 7, 8. Осталось получить всевозможные числа, составленные из этого набора. Количество вариантов чисел равно: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 (на первом месте может стоять 1 из 3 цифр, на втором месте – 1 из 2, на третьем месте – 1 из 1), а сами числа равны: 578, 587, 758, 785, 857 и 875. В ответе можно указать любое из них.

Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875

До экзаменов еще есть время!

Наверх