ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами

Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами

2017-03-05 00:31:27

Формулировка задачи: Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на N; сумма цифр числа A + K делится на N. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 8; сумма цифр числа A + 1 делится на 8; в числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 8. Попробуем подобрать такое число A + 1, чтобы сумма его цифр также делилась на 8.

Заметим, что сумма цифр числа A + 1 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 8. Это могут быть числа 8, 16, 24, ... . В противном случае она не будет делиться на 8. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если c < 9 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:

A + 1 = ab(c + 1)

Сумма его цифр a + b + c + 1 отличается от суммы изначального числа A на 1. Поэтому данный вариант не подходит.

Вариант 2. Если c = 9 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:

A + 1 = a(b + 1)0

Сумма цифр этого числа равна

a + b + 1 + 0 = a + b + 1

Сумма цифр числа A при c = 9 равна:

a + b + 9

Суммы чисел отличаются на 8, поэтому данный вариант подойдет.

Вариант 3. Если c = 9, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:

A + 1 = (a + 1)00

Сумма цифр нового числа равна:

a + 1 + 0 + 0 = a + 1

Сумма цифр числа A при c = 9 и b = 9 равна:

a + 9 + 9 = a + 18

2 суммы отличаются на 17 (18 - 1). Такой вариант не подойдет.

Вариант 4. Если c = 9, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 1 будет равно:

A + 1 = 1000

Сумма цифр этого числа равна:

1 + 0 + 0 + 0 = 1

Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 и c = 9 равна:

9 + 9 + 9 = 27

Получается, что 2 этих числа отличаются на 26 (27 - 1). Этот вариант не подойдет.

Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c = 9 и b < 9.

Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 8, нужно чтобы она была равна 8, 16 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку c = 9, b < 9, a > 0, сумма цифр числа A уже превышает 9. Значит сумма цифр числа A должна быть равна 16 или 24.

При поиске подходящего числа нужно учитывать, что a + c должно быть кратно b, то есть делиться нацело на него.

Пусть сумма цифр числа A равна 16. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 16 – 9 = 7, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:

  • a = 1 и b = 6; (1 + 9) / 6 – не целое число, значит не подходит;
  • a = 2 и b = 5; (2 + 9) / 5 – не целое число, значит не подходит;
  • a = 3 и b = 4; (3 + 9) / 4 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 349;
  • a = 4 и b = 3; (4 + 9) / 3 – не целое число, значит не подходит;
  • a = 5 и b = 2; (5 + 9) / 2 = 7 – целое число, значит число A может быть равно 529;
  • a = 6 и b = 1; (6 + 9) / 1 = 15 – целое число, значит число A может быть равно 619;
  • a = 7 и b = 0; (7 + 9) / 0 – деление на 0, значит не подходит.

Пусть сумма цифр числа A равна 24. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 24 – 9 = 15, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:

  • b = 8 и a = 7; (7 + 9) / 8 = 2 – целое число, значит число A может быть равно 789;
  • b = 7 и a = 8; (8 + 9) / 7 – не целое число, значит не подходит;
  • b = 6 и a = 9; (9 + 9) / 6 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 969;
  • b = 5 и a = 10 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 10 двухзначное;
  • b = 4 и a = 11 – не подходит, см. выше;
  • b = 3 и a = 12 – не подходит, см. выше;
  • b = 2 и a = 13 – не подходит, см. выше;
  • b = 1 и a = 14 – не подходит, см. выше;
  • b = 0 и a = 15 – не подходит, см. выше.

В ответе можно указать любое из чисел 349, 529, 619, 789, 969.

Ответ: 349 или 529 или 619 или 789 или 969

Пример задачи 2:

Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 5; сумма цифр числа (A + 4) делится на 5; число A больше 350 и меньше 400. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 5. Попробуем подобрать такое число A + 4, чтобы сумма его цифр также делилась на 5.

Заметим, что сумма цифр числа A + 4 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 5. Это могут быть числа 5, 10, 15, 20, 25, ... . В противном случае она не будет делиться на 5. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если c < 6 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:

A + 4 = ab(c + 4)

Сумма его цифр a + b + c + 4 отличается от суммы изначального числа A на 4. Поэтому данный вариант не подходит.

Вариант 2. Если c ≥ 6 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:

A + 4 = a(b + 1)(c – 6)

Разряд единиц получен следующим образом:

c + 4 – 10 = c – 6

То есть к c мы прибавляем 4 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c – 6.

Сумма цифр этого числа равна

a + b + 1 + c – 6 = a + b + c – 5

Она отличается от суммы числа A на 5, поэтому данный вариант подходит.

Вариант 3. Если c ≥ 6, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:

A + 4 = (a + 1)0(c – 6)

Сумма цифр нового числа равна:

a + 1 + 0 + c – 6 = a + c – 5

Сумма цифр числа A при b = 9 равна:

a + 9 + c

Получается, что 2 этих числа отличаются на 14 (9 - (-5)). Такой вариант не подойдет.

Вариант 4. Если c ≥ 6, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 4 будет равно:

A + 4 = 100(c – 6)

Сумма цифр этого числа равна:

1 + 0 + 0 + c – 6 = c – 5

Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна:

9 + 9 + c = c + 18

Получается, что 2 этих числа отличаются на 23 (18 - (-5)). Этот вариант не подойдет.

Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c ≥ 6 и b < 9. При этом нужно учитывать третье условие в задаче: число A больше 350 и меньше 400. Таким образом, a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6.

Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 5, нужно чтобы она была равна 5, 10, 15, 20 или 25 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6, сумма цифр числа A уже превышает 14 (берем минимальные значения 3 + 5 + 6). При этом сумма цифр числа A не может превышать 20 (берем максимальные значения 3 + 8 + 9). Значит сумма цифр числа A должна быть равна 15 или 20.

Пусть сумма цифр числа A равна 15. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 15 – 3 = 12. Рассмотрим возможные варианты:

  • b = 5 и c = 7, число A равно 357;
  • b = 6 и c = 6, число A равно 366;
  • b = 7 и c = 5 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию;
  • b = 8 и c = 4 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию.

Пусть сумма цифр числа A равна 20. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 20 – 3 = 17. Рассмотрим возможные варианты:

  • b = 5 и c = 12 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 12 двухзначное;
  • b = 6 и c = 11 – не подходит, см. выше;
  • b = 7 и c = 10 – не подходит, см. выше;
  • b = 8 и c = 9, число A равно 389.

В ответе можно указать любое из чисел 357, 366, 389.

Ответ: 357 или 366 или 389

До экзаменов еще есть время!

Наверх