Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами
Формулировка задачи: Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на N; сумма цифр числа A + K делится на N. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.
Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 8; сумма цифр числа A + 1 делится на 8; в числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 8. Попробуем подобрать такое число A + 1, чтобы сумма его цифр также делилась на 8.
Заметим, что сумма цифр числа A + 1 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 8. Это могут быть числа 8, 16, 24, ... . В противном случае она не будет делиться на 8. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если c < 9 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:
A + 1 = ab(c + 1)
Сумма его цифр a + b + c + 1 отличается от суммы изначального числа A на 1. Поэтому данный вариант не подходит.
Вариант 2. Если c = 9 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:
A + 1 = a(b + 1)0
Сумма цифр этого числа равна
a + b + 1 + 0 = a + b + 1
Сумма цифр числа A при c = 9 равна:
a + b + 9
Суммы чисел отличаются на 8, поэтому данный вариант подойдет.
Вариант 3. Если c = 9, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:
A + 1 = (a + 1)00
Сумма цифр нового числа равна:
a + 1 + 0 + 0 = a + 1
Сумма цифр числа A при c = 9 и b = 9 равна:
a + 9 + 9 = a + 18
2 суммы отличаются на 17 (18 - 1). Такой вариант не подойдет.
Вариант 4. Если c = 9, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 1 будет равно:
A + 1 = 1000
Сумма цифр этого числа равна:
1 + 0 + 0 + 0 = 1
Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 и c = 9 равна:
9 + 9 + 9 = 27
Получается, что 2 этих числа отличаются на 26 (27 - 1). Этот вариант не подойдет.
Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c = 9 и b < 9.
Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 8, нужно чтобы она была равна 8, 16 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку c = 9, b < 9, a > 0, сумма цифр числа A уже превышает 9. Значит сумма цифр числа A должна быть равна 16 или 24.
При поиске подходящего числа нужно учитывать, что a + c должно быть кратно b, то есть делиться нацело на него.
Пусть сумма цифр числа A равна 16. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 16 – 9 = 7, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:
- a = 1 и b = 6; (1 + 9) / 6 – не целое число, значит не подходит;
- a = 2 и b = 5; (2 + 9) / 5 – не целое число, значит не подходит;
- a = 3 и b = 4; (3 + 9) / 4 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 349;
- a = 4 и b = 3; (4 + 9) / 3 – не целое число, значит не подходит;
- a = 5 и b = 2; (5 + 9) / 2 = 7 – целое число, значит число A может быть равно 529;
- a = 6 и b = 1; (6 + 9) / 1 = 15 – целое число, значит число A может быть равно 619;
- a = 7 и b = 0; (7 + 9) / 0 – деление на 0, значит не подходит.
Пусть сумма цифр числа A равна 24. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 24 – 9 = 15, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 8 и a = 7; (7 + 9) / 8 = 2 – целое число, значит число A может быть равно 789;
- b = 7 и a = 8; (8 + 9) / 7 – не целое число, значит не подходит;
- b = 6 и a = 9; (9 + 9) / 6 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 969;
- b = 5 и a = 10 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 10 двухзначное;
- b = 4 и a = 11 – не подходит, см. выше;
- b = 3 и a = 12 – не подходит, см. выше;
- b = 2 и a = 13 – не подходит, см. выше;
- b = 1 и a = 14 – не подходит, см. выше;
- b = 0 и a = 15 – не подходит, см. выше.
В ответе можно указать любое из чисел 349, 529, 619, 789, 969.
349 или 529 или 619 или 789 или 969
Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 5; сумма цифр числа (A + 4) делится на 5; число A больше 350 и меньше 400. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 5. Попробуем подобрать такое число A + 4, чтобы сумма его цифр также делилась на 5.
Заметим, что сумма цифр числа A + 4 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 5. Это могут быть числа 5, 10, 15, 20, 25, ... . В противном случае она не будет делиться на 5. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если c < 6 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:
A + 4 = ab(c + 4)
Сумма его цифр a + b + c + 4 отличается от суммы изначального числа A на 4. Поэтому данный вариант не подходит.
Вариант 2. Если c ≥ 6 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:
A + 4 = a(b + 1)(c – 6)
Разряд единиц получен следующим образом:
c + 4 – 10 = c – 6
То есть к c мы прибавляем 4 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c – 6.
Сумма цифр этого числа равна
a + b + 1 + c – 6 = a + b + c – 5
Она отличается от суммы числа A на 5, поэтому данный вариант подходит.
Вариант 3. Если c ≥ 6, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:
A + 4 = (a + 1)0(c – 6)
Сумма цифр нового числа равна:
a + 1 + 0 + c – 6 = a + c – 5
Сумма цифр числа A при b = 9 равна:
a + 9 + c
Получается, что 2 этих числа отличаются на 14 (9 - (-5)). Такой вариант не подойдет.
Вариант 4. Если c ≥ 6, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 4 будет равно:
A + 4 = 100(c – 6)
Сумма цифр этого числа равна:
1 + 0 + 0 + c – 6 = c – 5
Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна:
9 + 9 + c = c + 18
Получается, что 2 этих числа отличаются на 23 (18 - (-5)). Этот вариант не подойдет.
Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c ≥ 6 и b < 9. При этом нужно учитывать третье условие в задаче: число A больше 350 и меньше 400. Таким образом, a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6.
Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 5, нужно чтобы она была равна 5, 10, 15, 20 или 25 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6, сумма цифр числа A уже превышает 14 (берем минимальные значения 3 + 5 + 6). При этом сумма цифр числа A не может превышать 20 (берем максимальные значения 3 + 8 + 9). Значит сумма цифр числа A должна быть равна 15 или 20.
Пусть сумма цифр числа A равна 15. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 15 – 3 = 12. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 5 и c = 7, число A равно 357;
- b = 6 и c = 6, число A равно 366;
- b = 7 и c = 5 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию;
- b = 8 и c = 4 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию.
Пусть сумма цифр числа A равна 20. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 20 – 3 = 17. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 5 и c = 12 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 12 двухзначное;
- b = 6 и c = 11 – не подходит, см. выше;
- b = 7 и c = 10 – не подходит, см. выше;
- b = 8 и c = 9, число A равно 389.
В ответе можно указать любое из чисел 357, 366, 389.
357 или 366 или 389
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- Найдите пятизначное число, любые две соседние цифры которого отличаются
- Найдите трехзначное натуральное число, большее
- Найдите трёхзначное число, все цифры которого различны
- Приведите пример трёхзначного числа, которое при делении дает равные остатки
- Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр
- Приведите пример шестизначного натурального числа
- Сумма цифр трехзначного числа A делится на N
Есть другой способ решения?