ГлавнаяМатематикаКак решатьНайдите шестизначное натуральное число, которое записывается цифрами

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается цифрами

2017-03-05 15:01:57

Формулировка задачи: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами A и B и делится на N. В ответе укажите ровно (какое-нибудь) одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел, а также уметь раскладывать составной делитель на взаимно простые множители. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение:

Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 1 и 0, делилось на 24, нужно чтобы оно делилось на 8 и на 3. Поскольку 8 и 3 – взаимно простые числа.

24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3

Чтобы шестизначное число делилось на 8, нужно чтобы оно заканчивалось на 000 или на трехзначное число, которое делится на 8. Чтобы шестизначное число делилось на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Для составления шестизначного числа есть только 2 цифры: 1 и 0. Сначала попробуем подобрать 3 последние цифры нового числа, чтобы оно делилось на 8:

000 – подходит, поскольку это 000

001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – на 8 не делятся, поэтому не подходят

Получается, что новое число должно оканчиваться на 000. Осталось подобрать такие остальные цифры числа, чтобы итоговое число делилось на 3.

Возможен только 1 вариант: число начинается на 111

1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 3

3 / 3 = 1

Никакое другое сочетание цифр не подойдет. Таким образом, шестизначное число равно 111000.

Ответ: 111000

Пример задачи 2:

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 3 и делится на 90. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 3 и 0, делилось на 90, нужно чтобы оно делилось на 9 и на 10. Поскольку 9 и 10 – взаимно простые числа (у них нет общих делителей).

90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 9 ⋅ 10

Чтобы шестизначное число делилось на 10, нужно чтобы оно заканчивалось на 0. Таким образом, последняя цифра числа определена и она равна 0.

Чтобы шестизначное число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9 (то есть сумма цифр должна быть равна 9, так как сумму 18 можно получить лишь в 1 случае – если в числе будут только тройки, а это невозможно). Такой набор существует только один: 3 + 3 + 3 + 0 + 0 + 0 = 9.

Осталось определить порядок определенных цифр. Он может быть любым, главное чтобы число начиналось с 3 (чтобы оно было шестизначным) и заканчивалось 0:

300330, 303030, 303300, 330030, 330300, 333000

В ответе можно указать любое из приведенных выше чисел.

Ответ: 300330 или 303030 или 303300 или 330030 или 330300 или 333000

До экзаменов еще есть время!

Наверх