Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды

2016-05-16 19:34:21

Формулировка задачи: Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна K, а боковое ребро равно N.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

Решение:

Объем любой пирамиды равен:

V = 1/3 ⋅ S_осн ⋅ h

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8. Поэтому площадь основания равна:

S_осн = 8 ⋅ 8 = 64

Теперь нужно вычислить высоту пирамиды, используя сторону основания и боковое ребро. Для этого проведем диагональ в основании правильной четырёхугольной пирамиды. Диагональ квадрата в основании равна:

d = 8√2

Получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина диагонали и высота пирамиды, а гипотенузой – боковое ребро пирамиды. Поэтому высоту пирамиды можно вычислить по теореме Пифагора:

h = √41 – (4√2)² = √41 – 32 = 3

Осталось найти объем пирамиды, подставив все полученные данные:

V = 1/3 ⋅ 64 ⋅ 3 = 64

Ответ: 64

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

V = 1/3 ⋅ K² ⋅ √N² – (K/2 ⋅ √2)²

где K – сторона основания, N – боковое ребро.

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 13

Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.