ГлавнаяМатематикаКак решать​Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности

​Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности

2016-05-02 20:32:23

Формулировка задачи: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами K и M, высота призмы равна H. Найдите площадь ее поверхности.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Решение:

Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме 2 площадей основания и площади боковой поверхности призмы:

Sпризмы = Sбок.пов + 2Sосн

Площадь основания равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Sосн = 1/2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24

Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании, известны, осталось найти его гипотенузу по теореме Пифагора:

62 + 82 = 10

Тогда площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна:

Sбок.пов = (6 + 8 + 10) ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 240

Таким образом, площадь поверхности призмы равна:

Sпризмы = Sбок.пов + 2Sосн = 240 + 2 ⋅ 24 = 240 + 48 = 288

Ответ: 288

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

Sосн = 1/2 ⋅ K ⋅ M

Sбок.пов = (K + M + √K2 + M2) ⋅ H

Sпризмы = Sбок.пов + 2Sосн = (K + M + √K2 + M2) ⋅ H + K ⋅ M

где K и M – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой треугольной призмы, H – высота призмы.

Остается лишь подставить значения и вычислить результат.

До экзаменов еще есть время!

Наверх