Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности

2016-05-02 20:32:23

Формулировка задачи: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами K и M, высота призмы равна H. Найдите площадь ее поверхности.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Решение:

Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме 2 площадей основания и площади боковой поверхности призмы:

S_призмы = S_{бок.пов} + 2S_осн

Площадь основания равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S_осн = 1/2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24

Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании, известны, осталось найти его гипотенузу по теореме Пифагора:

√6² + 8² = 10

Тогда площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна:

S_{бок.пов} = (6 + 8 + 10) ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 240

Таким образом, площадь поверхности призмы равна:

S_призмы = S_{бок.пов} + 2S_осн = 240 + 2 ⋅ 24 = 240 + 48 = 288

Ответ: 288

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

S_осн = 1/2 ⋅ K ⋅ M

S_{бок.пов} = (K + M + √K² + M²) ⋅ H

S_призмы = S_{бок.пов} + 2S_осн = (K + M + √K² + M²) ⋅ H + K ⋅ M

где K и M – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой треугольной призмы, H – высота призмы.

Остается лишь подставить значения и вычислить результат.

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 13

Поделитесь статьей с одноклассниками «Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.

​Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите площадь поверхности