Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите высоту

2016-05-02 20:47:56

Формулировка задачи: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами K и M. Площадь ее поверхности равна S. Найдите высоту призмы.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение:

Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме 2 площадей основания и площади боковой поверхности призмы:

S_призмы = S_{бок.пов} + 2S_осн

Площадь основания равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S_осн = 1/2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24

Найдем площадь боковой поверхности призмы, вычтя из площади полной поверхности призмы 2 площади основания:

S_{бок.пов} = S_призмы – 2S_осн = 288 – 2 ⋅ 24 = 288 – 48 = 240

Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Чтобы найти высоту призмы, нужно вычислить периметр основания. Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании, известны, осталось найти его гипотенузу по теореме Пифагора:

√6² + 8² = 10

Тогда высота прямой треугольной призмы равна:

S_{бок.пов} / (6 + 8 + 10) = 240 / 24 = 10

Ответ: 10

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

S_осн = 1/2 ⋅ K ⋅ M

S_{бок.пов} = S – 2S_осн

ВЫСОТА ПРИЗМЫ = S_{бок.пов} / (K + M + √K² + M²) = (S – K ⋅ M) / (K + M + √K² + M²)

где K и M – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой треугольной призмы, S – площадь поверхности призмы.

Остается лишь подставить значения и вычислить результат.

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 13

Поделитесь статьей с одноклассниками «Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите высоту – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.