ГлавнаяМатематикаКак решатьОснованием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите высоту

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник, найдите высоту

2016-05-02 20:47:56

Формулировка задачи: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами K и M. Площадь ее поверхности равна S. Найдите высоту призмы.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение:

Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме 2 площадей основания и площади боковой поверхности призмы:

Sпризмы = Sбок.пов + 2Sосн

Площадь основания равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Sосн = 1/2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24

Найдем площадь боковой поверхности призмы, вычтя из площади полной поверхности призмы 2 площади основания:

Sбок.пов = Sпризмы – 2Sосн = 288 – 2 ⋅ 24 = 288 – 48 = 240

Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Чтобы найти высоту призмы, нужно вычислить периметр основания. Катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании, известны, осталось найти его гипотенузу по теореме Пифагора:

62 + 82 = 10

Тогда высота прямой треугольной призмы равна:

Sбок.пов / (6 + 8 + 10) = 240 / 24 = 10

Ответ: 10

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

Sосн = 1/2 ⋅ K ⋅ M

Sбок.пов = S – 2Sосн

ВЫСОТА ПРИЗМЫ = Sбок.пов / (K + M + √K2 + M2) = (S – K ⋅ M) / (K + M + √K2 + M2)

где K и M – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой треугольной призмы, S – площадь поверхности призмы.

Остается лишь подставить значения и вычислить результат.

Есть другой способ решения?

Наверх