ГлавнаяМатематикаКак решатьВ треугольнике ABC дана сторона AC, BM - медиана, BH - высота

В треугольнике ABC дана сторона AC, BM - медиана, BH - высота

2016-01-28 22:43:10

Формулировка задачи: В треугольнике ABC сторона AC = k, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 15 (Задачи по планиметрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

В треугольнике ABC сторона AC = 56, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Решение:

Поскольку BM — медиана △ABC, то

AM = MC = AC / 2 = 56 / 2 = 28

Так как BM = BC, △MBC — равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит,

MH = HC = MC / 2 = 28 / 2 = 14

AH = AM + MH = 28 + 14 = 42

Ответ: 42

В общем виде решение данной задачи по планиметрии выглядит следующим образом:

AM = MC = AC / 2 — т.к. BM — медиана

MH = MC / 2 = AC / 4 — т.к. BH — медиана в равнобедренном △MBC

AH = AM + MH = AC / 2 + AC / 4 = 3 ⋅ AC / 4

Есть другой способ решения?

Наверх