ГлавнаяМатематикаКак решатьВ выпуклом четырёхугольнике ABCD известны два угла

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны два угла

2016-02-28 16:29:56

Формулировка задачи: В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, ∠B, ∠D. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 15 (Задачи по планиметрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, ∠B=61°, ∠D=151°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Соединим вершины четырехугольника A и C. Мы получили 2 равнобедренных треугольника, рассмотрим каждый из них.

В треугольнике ABC ∠BAC и ∠BCA равны, т.к. это углы при основании равнобедренного треугольника. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Поэтому:

∠BAC = ∠BCA = (180 – 61) / 2 = 59.5°

В треугольнике ADC ∠DAC и ∠DCA равны, т.к. это углы при основании равнобедренного треугольника. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Поэтому:

∠DAC = ∠DCA = (180 – 151) / 2 = 14.5°

Осталось сложить ∠BAC и ∠DAC, чтобы получить ∠A:

∠A = 59.5 + 14.5 = 74°

Ответ: 74

В общем виде решение данной задачи по планиметрии выглядит следующим образом:

∠BAC = (180 – ∠B) / 2

∠DAC = (180 – ∠D) / 2

∠A = ∠BAC + ∠DAC = (180 – ∠B + 180 – ∠D) / 2 = (360 – ∠B – ∠D) / 2

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

До экзаменов еще есть время!

Наверх