ГлавнаяМатематикаКак решатьГруппа туристов преодолела горный перевал

Группа туристов преодолела горный перевал

2017-03-01 19:45:41

Формулировка задачи: Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за K минут, а каждый следующий километр проходили на L минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за M минут. После отдыха N минут на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за P минут, а каждый следующий на R минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за S минут.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут.

Решение:

По условию задачи первый километр был пройден за 50 минут, а каждый следующий на 15 минут больше. Получили арифметическую прогрессию

a1 = 50

d = 15

an = 95

Вычислим число n по формуле n-ого члена арифметической прогрессии:

an = a1 + d ⋅ (n – 1)

95 = 50 + 15 ⋅ (n – 1)

95 = 50 + 15n – 15

15n = 95 – 50 + 15 = 60

n = 60 / 15 = 4

Получается, что группа туристов поднялась на 4 километра. И вычислим суммарное время, которое было затрачено на подъем (сумму n членов арифметической прогрессии):

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

S4 = (50 + 95) ⋅ 4 / 2 = 145 ⋅ 4 / 2 = 580 / 2 = 290 минут

Первый километр спуска был пройден за час (60 минут), а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Получили убывающую арифметическую прогрессию:

a1 = 60

d = –10

an = 10

Вычислим число n по формуле n-ого члена арифметической прогрессии:

an = a1 + d ⋅ (n – 1)

10 = 60 – 10 ⋅ (n – 1)

10 = 60 – 10n + 10

10n = 60

n = 60 / 10 = 6

Получается, что группа туристов спустилась на 6 километров. И вычислим суммарное время, которое было затрачено на спуск (сумму n членов убывающей арифметической прогрессии):

Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2

S6 = (60 + 10) ⋅ 6 / 2 = 70 ⋅ 6 / 2 = 420 / 2 = 210 минут

Значит на весь путь было затрачено:

290 + 10 + 210 = 510 минут = 510 / 60 часов = 8,5 часов

Ответ: 8,5

До экзаменов еще есть время!

Наверх