Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b₁, b₂, ... , b_n, ..., для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и b_n ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, ... является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.

Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:

1. Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b₁

   ---

   Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, ... со знаменателем q = 2.
2. Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются
   

   ---

   Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, ... со знаменателем q = –3.
3. Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
   

   ---

   Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, ... со знаменателем q = 0.5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.