ГлавнаяМатематикаТеорияГеометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

2016-01-29 20:40:44

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b1, b2, ... , bn, ..., для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

bn+1 = bn ⋅ q

где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, ... является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.

Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:

  1. Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b1
    Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, ... со знаменателем q = 2.
  2. Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются

    Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, ... со знаменателем q = –3.
  3. Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей

    Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, ... со знаменателем q = 0.5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

q = bn+1 / bn

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

bn = b1 ⋅ qn - 1

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

bn+1 = bn ⋅ q

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

bn-1 = bn / q

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

bn = √bn-1 ⋅ bn+1, где n > 1

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q), где q ≠ 1

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Sn = (b1 — bn ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Задача 1:

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, ... . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

Решение:

b1 = 3

q = 6 / 3 = 2

b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 128 = 384

S10 = b1 ⋅ (1 — q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Задача 2:

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... . Найдите его номер.

Решение:

b1 = 2

q = 6 / 2 = 3

Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:

486 = 2 ⋅ 3n - 1

243 = 3n - 1

35 = 3n - 1

n — 1 = 5

n = 6

Ответ: 6

Задача 3:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.

Решение:

Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (–1)

–31 = 1 — 2n

2n = 32

n = 5

Ответ: 5

До экзаменов еще есть время!

Наверх