В обменном пункте можно совершить одну из двух операций

2016-01-21 22:26:15

Формулировка задачи: В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за K золотых монеты получить M серебряных и одну медную; за N серебряных монет получить P золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось R медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Задача с монетами входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Решение:

Для удобства построим таблицу, в которой будет содержаться текущее количество золотых, серебряных и медных монет после каждого обмена.

Номер операции	Количество золотых монет	Количество серебряных монет	Количество медных монет
0	0	X	0
1	0 + 3 = 3	X - 5	0 + 1 = 1
2	3 - 2 = 1	X - 5 + 3 = X - 2	1 + 1 = 2
3	1 + 3 = 4	X - 2 - 5 = X - 7	2 + 1 = 3
4	4 - 2 = 2	X - 7 + 3 = X - 4	3 + 1 = 4
5	2 - 2 = 0	X - 4 + 3 = X - 1	4 + 1 = 5
...	...	...	...
50	0	X - (5 * 2 + 3 * 3) * 10 = X - 100 + 90 = X - 10	50

На нулевом шаге у Николая есть несколько серебряных монет (X), а золотые и медные отсутствуют. Первой операцией может быть только обмен 5 серебряных монет на 3 золотых и 1 медную. Получаем, что золотых монет стало 3, серебряных X-5 и медных 1.

Далее можно попробовать избавиться от золотых монет, ведь в результате всех обменов золотые монеты у Николая должны закончиться. Обмениваем 2 золотых монеты на 3 серебряных и одну медную. Поскольку после второго шага у нас осталась лишь 1 золотая монета, в третьей операции нужно опять обменивать серебряные. А четвертой и пятой можно избавиться от золотых монет.

Проделав пять шагов, можно сделать некоторые выводы. Во-первых, с каждым новым шагом у нас появляется новая медная монета. Поскольку в результате медных монет должно стать 50, можно сделать вывод, что нужно выполнить ровно 50 шагов. Во-вторых, за 5 шагов мы получили золотые монеты и избавились от них, что и требуется в результате. Если разделить общее число шагов (50) на 5, то мы получаем, что эти шаги нужно повторить 10 раз, и тогда золотых монет у нас не будет, медных станет ровно 50, а количество серебряных монет уменьшится.

Осталось лишь подсчитать, на сколько уменьшилось число серебряных монет. За 5 шагов число серебряных монет дважды уменьшилось на 5 и трижды увеличилось на 3, в результате чего их стало на 1 меньше. Если мы повторим эти пять шагов ровно 10 раз, число серебряных монет уменьшится на 10 штук. Это и есть ответ.

Ответ: 10

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 20

Поделитесь статьей с одноклассниками «В обменном пункте можно совершить одну из двух операций – как решать задачу с монетами».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.