В обменном пункте можно совершить одну из двух операций
Формулировка задачи: В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за K золотых монеты получить M серебряных и одну медную; за N серебряных монет получить P золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось R медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Задача с монетами входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Пример задачи:
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение:
Для удобства построим таблицу, в которой будет содержаться текущее количество золотых, серебряных и медных монет после каждого обмена.
Номер операции | Количество золотых монет | Количество серебряных монет | Количество медных монет |
---|---|---|---|
0 | 0 | X | 0 |
1 | 0 + 3 = 3 | X - 5 | 0 + 1 = 1 |
2 | 3 - 2 = 1 | X - 5 + 3 = X - 2 | 1 + 1 = 2 |
3 | 1 + 3 = 4 | X - 2 - 5 = X - 7 | 2 + 1 = 3 |
4 | 4 - 2 = 2 | X - 7 + 3 = X - 4 | 3 + 1 = 4 |
5 | 2 - 2 = 0 | X - 4 + 3 = X - 1 | 4 + 1 = 5 |
... | ... | ... | ... |
50 | 0 | X - (5 * 2 + 3 * 3) * 10 = X - 100 + 90 = X - 10 | 50 |
На нулевом шаге у Николая есть несколько серебряных монет (X), а золотые и медные отсутствуют. Первой операцией может быть только обмен 5 серебряных монет на 3 золотых и 1 медную. Получаем, что золотых монет стало 3, серебряных X-5 и медных 1.
Далее можно попробовать избавиться от золотых монет, ведь в результате всех обменов золотые монеты у Николая должны закончиться. Обмениваем 2 золотых монеты на 3 серебряных и одну медную. Поскольку после второго шага у нас осталась лишь 1 золотая монета, в третьей операции нужно опять обменивать серебряные. А четвертой и пятой можно избавиться от золотых монет.
Проделав пять шагов, можно сделать некоторые выводы. Во-первых, с каждым новым шагом у нас появляется новая медная монета. Поскольку в результате медных монет должно стать 50, можно сделать вывод, что нужно выполнить ровно 50 шагов. Во-вторых, за 5 шагов мы получили золотые монеты и избавились от них, что и требуется в результате. Если разделить общее число шагов (50) на 5, то мы получаем, что эти шаги нужно повторить 10 раз, и тогда золотых монет у нас не будет, медных станет ровно 50, а количество серебряных монет уменьшится.
Осталось лишь подсчитать, на сколько уменьшилось число серебряных монет. За 5 шагов число серебряных монет дважды уменьшилось на 5 и трижды увеличилось на 3, в результате чего их стало на 1 меньше. Если мы повторим эти пять шагов ровно 10 раз, число серебряных монет уменьшится на 10 штук. Это и есть ответ.
Ответ: 10
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт
- Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника, найдите периметр
- Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника, найдите площадь
- Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец
- На поверхности глобуса фломастером проведены параллели и меридианы
- На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета
- В корзине лежат грибы: рыжики и грузди
Есть другой способ решения?