Найдите объём конуса отсекаемого плоскостью

2016-02-13 01:00:19

Формулировка задачи: Объём конуса равен N. Через точку, делящую высоту конуса в отношении A:B, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Пример задачи:

Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение:

По условию задачи дано 2 конуса: большой и малый, отсеченный плоскостью от большого. Большой конус подобен малому с коэффициентом подобия, равным:

K = H / h = (1 + 2)x / 1x = 3 / 1 = 3

где H – высота большого конуса, а h – высота малого конуса. Получается, что высота большого конуса в 3 раза больше высоты малого конуса, так как высота большого конуса составляет 3 части (1 + 2), а высота малого только одну.

Поскольку в задаче дан объем большего конуса и по нему нужно получить объем меньшего, а объемы любых двух подобных объемных фигур относятся как куб коэффициента подобия, можно составить следующее соотношение:

V_{бол.кон.} / V_{мал.кон.} = 3³ / 1

Выразим из этого соотношения объем малого конуса и вычислим его:

V_{бол.кон.} = V_{мал.кон.} ⋅ 3³

V_{мал.кон.} = V_{бол.кон.} / 3³ = 27 / 27 = 1

Ответ: 1

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

K = (A + B) / A – коэффициент подобия

ОБЪЕМ МАЛОГО КОНУСА = N / K³

где N – объем большего конуса, а A:B – отношение высот конуса, считая от вершины.

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

ЕГЭ база все задания ЕГЭ база задание 13

Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите объём конуса отсекаемого плоскостью – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.