При каких значениях a, неравенство ax^2 – 4ax

2016-11-07 16:48:06

Формулировка задания: При каких значениях a, неравенство ax² – 4ax – 3 ≤ 0 верно при любых значениях x?

Решение:

Левая часть неравенства является параболой (кроме случая, когда a = 0). Чтобы парабола находилась ниже оси Ox, нужно чтобы ветви параболы были направлены вниз и ее вершина находилась ниже оси Ox (или на ней). Чтобы ветви параболы были направлены вниз, нужно чтобы коэффициент перед x² был меньше нуля. При a = 0 неравенство также будет верно, поэтому:

a ≤ 0

Теперь найдем вершину параболы. Для этого выделим полный квадрат в левой части неравенства:

ax² – 4ax – 3 = a ⋅ (x² – 4x – 3/a) = a ⋅ (x² – 2 ⋅ 2 ⋅ x + 4 – 4 – 3/a) = a ⋅ ((x – 2)² – 4 – 3/a) = a ⋅ (x – 2)² – (4a + 3)

Получается, что вершина параболы находится в точке (2; -4a – 3). Чтобы вершина находилась ниже оси Ox или на ней, нужно чтобы ордината y была меньше или равна 0:

–4a – 3 ≤ 0

4a + 3 ≥ 0

4a ≥ –3

a ≥ –0,75

Таким образом, неравенство верно при:

–0,75 ≤ a ≤ 0

Ответ: –0,75 ≤ a ≤ 0

Поделитесь статьей с одноклассниками «При каких значениях a, неравенство ax^2 – 4ax – 3 <= 0 верно при любых значениях x – решение и ответ».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.