При каких значениях a, неравенство ax^2 – 4ax – 3 <= 0 верно при любых значениях x
Формулировка задания: При каких значениях a, неравенство ax2 – 4ax – 3 ≤ 0 верно при любых значениях x?
Левая часть неравенства является параболой (кроме случая, когда a = 0). Чтобы парабола находилась ниже оси Ox, нужно чтобы ветви параболы были направлены вниз и ее вершина находилась ниже оси Ox (или на ней). Чтобы ветви параболы были направлены вниз, нужно чтобы коэффициент перед x2 был меньше нуля. При a = 0 неравенство также будет верно, поэтому:
a ≤ 0
Теперь найдем вершину параболы. Для этого выделим полный квадрат в левой части неравенства:
ax2 – 4ax – 3 = a ⋅ (x2 – 4x – 3/a) = a ⋅ (x2 – 2 ⋅ 2 ⋅ x + 4 – 4 – 3/a) = a ⋅ ((x – 2)2 – 4 – 3/a) = a ⋅ (x – 2)2 – (4a + 3)
Получается, что вершина параболы находится в точке (2; -4a – 3). Чтобы вершина находилась ниже оси Ox или на ней, нужно чтобы ордината y была меньше или равна 0:
–4a – 3 ≤ 0
4a + 3 ≥ 0
4a ≥ –3
a ≥ –0,75
Таким образом, неравенство верно при:
–0,75 ≤ a ≤ 0
–0,75 ≤ a ≤ 0
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
- С помощью графика функции y = cos(x) найти корни уравнения
- Решите уравнение logx(8) – logx(2) = 2
- Решите неравенство log5(x) > log5(3x-4)
- Решить уравнение (x – 1)^4 – 5(x – 1)^2 + 4 = 0
- Решите уравнение x^lg(5x) = 400
Есть другой способ решения?