Решите уравнение x^lg(5x) = 400 – решение и ответ

2016-09-19 13:54:39

Формулировка задания: Решите уравнение x^lg(5x) = 400.

Решение:

LG – это десятичный логарифм, поэтому его можно записать как:

lg(5x) = log₁₀5x

Тогда уравнение будет выглядеть так:

x^log₁₀5x = 400

Воспользуемся определением логарифма (логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b) и преобразуем уравнение следующим образом:

log₁₀5x = log_x400

Приравняем обе части уравнения к y и получаем систему уравнений:

log₁₀5x = y

log_x400 = y

Перейдем от логарифмов к степеням, используя определение логарифма:

10^y = 5x

x^y = 400

Выразим из первого уравнения x:

x = 10^y / 5

И подставим его во второе уравнение:

(10^y / 5)^y = 400

Решим полученное уравнение относительно y:

((2^y ∙ 5^y) / 5)^y = 400

(2^y ∙ 5^{y – 1})^y = 400

2^y² ∙ 5^{y∙(y – 1)} = 2⁴ ∙ 5²

Приравняем степени у одинаковых оснований:

y² = 4 => y = 2

y ∙ (y – 1) = 2 => y = 2

Получаем, что y = 2. Осталось вычислить значение x:

x = 10² / 5 = 100 / 5 = 20

И выполняем проверку:

20^{log₁₀(5 ∙ 20)} = 20^log₁₀100 = 20² = 400

Ответ: 20

Поделитесь статьей с одноклассниками «Решите уравнение x^lg(5x) = 400 – решение и ответ».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.