ГлавнаяМатематикаБанк заданийСумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18

Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18

2016-11-06 18:15:35

Формулировка задания: Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Если к первому из них прибавить 8, а остальные оставить без изменения, полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите наименьшее из этих чисел.

Решение:

Пусть первое число равно a1, второе – a2, а третье – a3. Запишем все известные условия:

Арифметическая прогрессия: a1, a2, a3

a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0

a1 + a2 + a3 = 18

Геометрическая прогрессия: a1 + 8, a2, a3

Необходимо найти минимальное из чисел a1, a2, a3.

Выразим числа a2 и a3 через число a1 и разность d арифметической прогрессии:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

Тогда сумма трех чисел будет равна:

a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 3a1 + 3d = 18

a1 + d = 6 = a2

Таким образом, мы нашли второе число арифметической и геометрической прогрессии. Выразим через него и разность d числа a1 и a3:

a1 = a2 – d = 6 – d

a3 = a2 + d = 6 + d

Также выразим числа a1 + 8 и a3 через число a2 и знаменатель q геометрической прогрессии:

a1 + 8 = a2/q = 6/q ⇒ a1 = 6/q – 8

a3 = a2 ⋅ q = 6 ⋅ q

Приравняем числа a1 и a3 и получим систему из 2 уравнений с 2 неизвестными:

6 – d = 6/q – 8

6 + d = 6 ⋅ q

Выразим из второго уравнения d:

d = 6 ⋅ q – 6

Подставим d в первое уравнение и решим полученное квадратное уравнение:

6 – (6 ⋅ q – 6) = 6/q – 8

-6q + 20 – 6/q = 0

6q2 – 20q + 6 = 0

3q2 – 10q + 3 = 0

a = 3, b = -10, c = 3

D = 102 – 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 100 – 36 = 64

q1 = (10 + 8) / (2 ⋅ 3) = 3

q2 = (10 – 8) / (2 ⋅ 3) = 1/3

Теперь вычислим значение d:

d1 = 6 ⋅ 3 – 6 = 12

d2 = 6 ⋅ 1/3 – 6 = -4

Если d равно 12, тогда:

a1 = 6 – 12 = -6 < 0

Однако это не соответствует условию задачи.

Если d равно -4, тогда:

a1 = 6 – (–4) = 10

a3 = 6 + (–4) = 2

Значит исходная числовая последовательность, составляющая арифметическую прогрессию, равна: 10, 6, 2. Наименьшим числом является 2.

Ответ: 2

Есть другой способ решения?

Наверх