Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18

2016-11-06 18:15:35

Формулировка задания: Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Если к первому из них прибавить 8, а остальные оставить без изменения, полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите наименьшее из этих чисел.

Решение:

Пусть первое число равно a₁, второе – a₂, а третье – a₃. Запишем все известные условия:

Арифметическая прогрессия: a₁, a₂, a₃

a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0

a₁ + a₂ + a₃ = 18

Геометрическая прогрессия: a₁ + 8, a₂, a₃

Необходимо найти минимальное из чисел a₁, a₂, a₃.

Выразим числа a₂ и a₃ через число a₁ и разность d арифметической прогрессии:

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d

Тогда сумма трех чисел будет равна:

a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) = 3a₁ + 3d = 18

a₁ + d = 6 = a₂

Таким образом, мы нашли второе число арифметической и геометрической прогрессии. Выразим через него и разность d числа a₁ и a₃:

a₁ = a₂ – d = 6 – d

a₃ = a₂ + d = 6 + d

Также выразим числа a₁ + 8 и a₃ через число a₂ и знаменатель q геометрической прогрессии:

a₁ + 8 = a₂/q = 6/q ⇒ a₁ = 6/q – 8

a₃ = a₂ ⋅ q = 6 ⋅ q

Приравняем числа a₁ и a₃ и получим систему из 2 уравнений с 2 неизвестными:

6 – d = 6/q – 8

6 + d = 6 ⋅ q

Выразим из второго уравнения d:

d = 6 ⋅ q – 6

Подставим d в первое уравнение и решим полученное квадратное уравнение:

6 – (6 ⋅ q – 6) = 6/q – 8

-6q + 20 – 6/q = 0

6q² – 20q + 6 = 0

3q² – 10q + 3 = 0

a = 3, b = -10, c = 3

D = 10² – 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 100 – 36 = 64

q₁ = (10 + 8) / (2 ⋅ 3) = 3

q₂ = (10 – 8) / (2 ⋅ 3) = 1/3

Теперь вычислим значение d:

d₁ = 6 ⋅ 3 – 6 = 12

d₂ = 6 ⋅ 1/3 – 6 = -4

Если d равно 12, тогда:

a₁ = 6 – 12 = -6 < 0

Однако это не соответствует условию задачи.

Если d равно -4, тогда:

a₁ = 6 – (–4) = 10

a₃ = 6 + (–4) = 2

Значит исходная числовая последовательность, составляющая арифметическую прогрессию, равна: 10, 6, 2. Наименьшим числом является 2.

Ответ: 2

Поделитесь статьей с одноклассниками «Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18 – решение и ответ».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.