ГлавнаяМатематикаБанк заданийНайдите наименьшее значение выражения m^2+n^2+k^2+n+k/2-3m-3

Найдите наименьшее значение выражения m^2+n^2+k^2+n+k/2-3m-3

2017-09-22 15:58:01

Формулировка задания: Найдите наименьшее значение выражения m2 + n2 + k2 + n + k/2 – 3m – 3.

Решение:

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

(m2 – 3m) + (n2 + n) + (k2 + k/2) – 3

Выделим полный квадрат для каждого неизвестного m, n и k. При этом не забываем о том, что если мы прибавили какое-то число, нужно его же и вычесть:

((m2 – 2 ⋅ 3/2 ⋅ m + (3/2)2) – (3/2)2) + ((n2 + 2 ⋅ 1/2 ⋅ n + (1/2)2) – (1/2)2) + ((k2 + 2 ⋅ 1/4 ⋅ k + (1/4)2) – (1/4)2) – 3 =
(m – 3/2)2 – (3/2)2 + (n + 1/2)2 – (1/2)2 + (k + 1/4)2 – (1/4)2 – 3 =
(m – 3/2)2 + (n + 1/2)2 + (k + 1/4)2 – (3/2)2 – (1/2)2 – (1/4)2 – 3

Квадрат суммы не может быть отрицательным. Поэтому минимальное значение, которое может принимать каждый квадрат суммы, равно 0. Осталось вычислить, чему равен свободный коэффициент, который и будет минимальным значением выражения:

–(3/2)2 – (1/2)2 – (1/4)2 – 3 = – 9/4 – 1/4 – 1/16 – 48/16 = –10/4 – 49/16 = –40/16 – 49/16 = –89/16

Ответ: –89/16

До экзаменов еще есть время!

Наверх