ГлавнаяМатематикаБанк заданийОснования трапеции равны a и b, отрезок с концами на боковых сторонах трапеции

Основания трапеции равны a и b, отрезок с концами на боковых сторонах трапеции

2017-05-29 18:55:32

Формулировка задания: Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две трапеции, площади которых равны. Найти длину этого отрезка.

Решение:

Изобразим условие задачи на картинке:

Площадь большой трапеции равна:

SABCD = (a + b)/2 ⋅ (h1 + h2)

Пусть длина отрезка, которую нужно найти, равна c. Площади малых трапеций, образованных в результате добавления отрезка EF в трапецию ABCD, равны:

SEBCF = (b + c)/2 ⋅ h2

SAEFD = (a + c)/2 ⋅ h1

Известно, что:

SEBCF = SAEFD

(b + c)/2 ⋅ h2 = (a + c)/2 ⋅ h1

Кроме этого площадь большой трапеции равна сумме площадей двух малых трапеций. А так как площади малых трапеций равны, площадь большой трапеции равна удвоенной площади любой из малых трапеций:

SABCD = SEBCF + SAEFD = 2SAEFD

(a + b)/2 ⋅ (h1 + h2) = (a + c) ⋅ h1

Получили систему из двух уравнений, которую нужно решить:

(b + c)/2 ⋅ h2 = (a + c)/2 ⋅ h1

(a + b)/2 ⋅ (h1 + h2) = (a + c) ⋅ h1

Однако в ней получается много неизвестных: c, h1 и h2. Нужно избавиться от одного из неизвестных, чтобы система имела единственное решение. При этом мы знаем, что длины высот h1 и h2 зависят от длин оснований a и b, поэтому выполним следующую замену:

h1 / h2 = y

Теперь разделим оба уравнения на h2, чтобы избавиться в них от h1 и h2:

(b + c)/2 ⋅ h2 / h2 = (a + c)/2 ⋅ h1 / h2

(a + b)/2 ⋅ (h1 + h2) / h2 = (a + c) ⋅ h1 / h2

Получили систему из 2 уравнений с 2 неизвестными c и y:

b + c = (a + c) ⋅ y

(a + b)/2 ⋅ (y + 1) = (a + c) ⋅ y

Выразим из 1 уравнения y:

y = (b + c) / (a + c)

Подставим во 2 уравнение и решим его:

(a + b)/2 ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = (a + c)⋅(b + c)/(a + c)

(a + b)/2 ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = b + c

(a + b) ⋅ ((b + c)/(a + c) + 1) = 2 ⋅(b + c)

a ⋅(b + c)/(a + c) + b ⋅(b + c)/(a + c) + a + b = 2 ⋅(b + c)

a ⋅(b + c) + b ⋅(b + c) + a ⋅(a + c) + b ⋅(a + c) = 2 ⋅(b + c)⋅(a + c)

ab + ac + b2 + bc + a2 + ac + ab + bc = 2ab + 2bc + 2ac + 2c2

ac + bc + ac + bc – 2bc – 2ac – 2c2 = 2ab – ab – ab – a2 – b2

–2c2 = – a2 – b2

2c2 = a2 + b2

c2 = (a2 + b2)/2

c = √(a2 + b2)/2

Таким образом, длина отрезка c была вычислена.

Ответ: √((a2 + b2)/2)

До экзаменов еще есть время!

Наверх