Экзамены на отлично!
Докажите, что в числе (6 + sqrt(37))^999 первые 999 цифр справа
2016-09-27 19:34:48
Формулировка задания: Докажите, что в числе (6 + √37)999 первые 999 цифр справа после запятой – нули.
Решение:
Прибавим к нашему числу сопряженное выражение в той же степени:
(6 + √37)999 + (6 – √37)999
Для раскрытия скобок будем использовать бином Ньютона:
(a + b)n = an + n ⋅ an-1 ⋅ b + n ⋅ ((n - 1) / 2!) ⋅ an-2 ⋅ b2 + n ⋅ ((n - 1)(n - 2) / 3!) ⋅ an-3 ⋅ b3 + .... + n ⋅ a ⋅ bn-1 + bn
Преобразуем формулу для сопряженного выражения (для нечетного n):
(a – b)n = an – n ⋅ an-1 ⋅ b + n ⋅ ((n - 1) / 2!) ⋅ an-2 ⋅ b2 – n ⋅ ((n - 1)(n - 2) / 3!) ⋅ an-3 ⋅ b3 + .... + n ⋅ a ⋅ bn-1 + bn
Таким образом, если мы сложим сумму в степени n с разностью в степени n, часть членов взаимоуничтожится. Это будут те члены, где число b находится в нечетной степени. Следовательно, при сложении суммы в степени n и разности в степени n останутся лишь те члены, у которых число b находится в четных степенях. Также заметим, что все коэффициенты перед a и b являются целыми числами.
В нашем случае:
a = 6
b = √37
Число √37 в четной степени всегда будет целым, число 6 – целое, коэффициенты целые. Значит, сумма сопряженных выражений будет целой.
Теперь разберемся с сопряженным числом (6 – √37)999. Оно меньше нуля, так как √37 больше 6 и находится в нечетной степени. По модулю это число достаточно мало, поэтому им можно пренебречь в сумме сопряженных выражений. Чтобы убедиться в этом, сравним его с числом 10–999 (так как после запятой должно быть 999 нулей 10–999 = 0,000...01):
|6 – √37|999 < 10–999
|6 – √37| < 10–999
√37 – 6 < 10–1
√37 < 0,1 + 6
√37 < 6,1
(√37)2 < 6,12
37 < 37,21
Значит, после запятой находится как минимум 999 нулей.
Ответ: в числе первые 999 цифр справа после запятой – нули.
При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
Есть другой способ решения?