ГлавнаяМатематикаБанк заданийДокажите, что a-3b делится на 7

Докажите, что a-3b делится на 7

2016-07-10 20:40:58

Формулировка задания: 2b2 + ab – 6a2 делится на 7. Докажите, что a – 3b тоже делится на 7.

Отступление:

Возведем a – 3b в квадрат. Если оно делится на 7, то и квадрат числа будет делиться на 7:

(a – 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2

Вычтем из полученного квадрата число 2b2 + ab – 6a2. Так как и квадрат числа a – 3b и 2b2 + ab – 6a2 делятся на 7, их разность также будет делиться на 7 (7 можно вынести за скобку как множитель):

a2 – 6ab + 9b2 – (2b2 + ab – 6a2) = 7a2 – 7ab + 7b2 = 7 ⋅ (a2 – ab + b2)

Решение:

Прибавим к числу 2b2 + ab – 6a2 число 7 ⋅ (a2 – ab + b2), которое также кратно 7:

2b2 + ab – 6a2 + 7 ⋅ (a2 – ab + b2) = a2 – 6ab + 9b2

Полученная сумма также делится на 7, так как каждое слагаемое делится на 7. А она является квадратом для числа a – 3b:

a2 – 6ab + 9b2 = (a – 3b)2

Так как квадрат числа делится на 7, само число также делится на 7.

Ответ: a – 3b делится на 7

До экзаменов еще есть время!

Наверх