ГлавнаяМатематикаБанк заданийПервая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней

Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней

2017-05-19 23:11:45

Формулировка задания: Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья бригады - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Решение 1:

Пусть производительность первой бригады равна x, производительность второй бригады – y, производительность третьей бригады – z. Вся выполненная работа равна единице. Составляем систему уравнений:

9 ⋅ (x + y) = 1

18 ⋅ (y + z) = 1

12 ⋅ (x + z) = 1


9x + 9y = 1

18y + 18z = 1

12x + 12z = 1

Выразим из 1 уравнения x и из 2 уравнения z через y:

9x = 1 – 9y

x = (1 – 9y) / 9


18z = 1 – 18y

z = (1 – 18y) / 18

И подставим полученные значения в 3 уравнение:

12 ⋅ (1 – 9y) / 9 + 12 ⋅ (1 – 18y) / 18 = 1

12/9 – 12y + 12/18 – 12y = 1

–24y = 1 – 12/9 – 12/18

–24y = 1 – 4/3 – 2/3

–24y = –1

y = 1/24

Тогда производительности первой и третьей бригады соответственно равны:

x = (1 – 9 ⋅ 1/24) / 9 = 15/24 ⋅ 1/9 = 5/(8 ⋅ 9) = 5/72

z = (1 – 18 ⋅ 1/24) / 18 = 6/24 ⋅ 1/18 = 1/4 ⋅ 1/18 = 1/72

Проверка:

9 ⋅ 5/72 + 9 ⋅ 1/24 = 1

18 ⋅ 1/24 + 18 ⋅ 1/72 = 1

12 ⋅ 5/72 + 12 ⋅ 1/72 = 1

Тогда количество дней, которое будут работать все 3 бригады вместе, равно:

1 / (5/72 + 1/24 + 1/72) = 1 / 0,125 = 8 дней

Решение 2:

Пусть производительность первой бригады равна x, производительность второй бригады – y, производительность третьей бригады – z. Вся выполненная работа равна единице. Составляем систему уравнений:

9 ⋅ (x + y) = 1

18 ⋅ (y + z) = 1

12 ⋅ (x + z) = 1

Вычислим производительность бригад в каждом случае за 1 день. Для этого нужно разделить каждое уравнение на количество дней, которое работали бригады:

x + y = 1/9

y + z = 1/18

x + z = 1/12

Нам нужно получить количество дней, которое будут работать все 3 бригады, поэтому найдем сумму всех 3 уравнений:

(x + y) + (y + z) + (x + z) = 1/9 + 1/18 + 1/12

2x + 2y + 2z = 1/4

Разделим уравнение на 2, чтобы получить производительность работы 3 бригад вместе за 1 день:

x + y + z = 1/8

Значит за 1 день выполняется 1/8 часть работы. Тогда вся работа будет выполнена за:

1 / (1/8) = 8 дней

Ответ: 8

До экзаменов еще есть время!

Наверх