ГлавнаяМатематикаБанк заданийКвадратный трехчлен при x = 1 принимает наибольшее значение

Квадратный трехчлен при x = 1 принимает наибольшее значение

2017-05-19 20:17:38

Формулировка задания: Квадратный трехчлен y = ax^2 + bx + c при x = 1 принимает наибольшее значение, равное 3, а при x = -1 обращается в нуль. Какое значение он примет при x = 5?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти коэффициенты a, b и с. Для начала подставим известные x и y в функцию и получим следующие равенства:

a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = a + b + c = 3

a ⋅ (-1)2 + b ⋅ (-1) + c = a – b + c = 0


a + b + c = 3

a – b + c = 0

Мы получили систему из 2 уравнений с 3 неизвестными. Заметим, что если вычтем из первого уравнения второе, то получим значение b:

a + b + c = 3

a – b + c = 0

-----------------

2b = 3

b = 1,5

Если подставим полученное значение b в любое уравнение из системы, например во второе, то получим:

a + c = 1,5

Кроме того мы знаем, что функция принимает наибольшее значение в точке, где x = 1. Это вершина параболы. Чтобы найти вершину параболы, можно воспользоваться формулами:

x0 = –b/(2a)

y0 = f(x0)

Зная коэффициент b и значение x вершины параболы, можно вычислить коэффициент a из первой формулы:

1 = –1,5 / (2a)

2a = –1,5 / 1

a = –1,5 / 2 = –0,75

И найдем коэффициент c из ранее полученного равенства, подставив в него значение a:

–0,75 + c = 1,5

c = 1,5 + 0,75 = 2,25

Таким образом, функция имеет вид:

y = –0,75 ⋅ x2 + 1,5 ⋅ x + 2,25

Выполним проверку, подставив полученные коэффициенты в систему уравнений:

-0,75 + 1,5 + 2,25 = 3; 3 = 3

-0,75 - 1,5 + 2,25 = 0; 0 = 0

Осталось вычислить значение функции при заданном значении x = 5:

y = –0,75 ⋅ 52 + 1,5 ⋅ 5 + 2,25 = –0,75 ⋅ 25 + 7,5 + 2,25 = –18,75 + 9,75 = –9

Ответ: –9

До экзаменов еще есть время!

Наверх