Если a/b = 4/9, НОК(a, b) + НОД(a, b) = 111, то найти b – a

Решение:

НОД – это наибольший общий делитель (произведение всех совпадающих простых делителей двух чисел), НОК – это наименьшее общее кратное (произведение всех совпадающих и отличающихся простых делителей двух чисел). Получается, что НОД является множителем в НОК:

Разложим число 111 на множители:

Таким образом, НОД может быть равен 3 или 37.

Пусть НОД равен 3, тогда произведение отличающихся простых делителей равно:

Разобьем эти отличающиеся простые делители на 2 числа. Делители разных чисел не могут совпадать. Значит к одному числу относятся делители 2 и 2, а ко второму 3 и 3, либо к одному из чисел относятся делители 2, 2, 3, 3, а ко второму единица.

В первом случае число один будет равно 2 ⋅ 2 ⋅ НОД, а число два будет равно 3 ⋅ 3 ⋅ НОД. Разделим меньшее число на большее:

Соотношение выполняется, поэтому число a равно 12, а число b равно 27. Найдем их разность:

Во втором случае число один будет равно 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ НОД, а число два будет равно НОД. Разделим меньшее число на большее:

Соотношение не выполняется, значит эта пара чисел не подходит.

Пусть НОД равен 37, тогда произведение отличающихся простых делителей будет равно:

Простой делитель 2 уйдет в одно из чисел. Значит одно из чисел будет равно НОД, а второе будет равно 2 ⋅ НОД. Разделим меньшее число на большее:

Соотношение не выполняется, значит эта пара чисел не подходит.

Ответ: 15